Symmetrie in physikalischen Eigenschaften des Festkörpers

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Die vollständige Matrix im 3p dimensionalen Raum (p Anzahl der permutierten Teilchen) besteht
aus der Kombination der Permutations- mit der Rotationsmatrix: sie repräsentiert den Operator
O
T zur Transformation T im Ortsraum. Für jede „1“ in der Permutationsmatrix wird die 3× 3
Drehmatrix eingesetzt, die Stellen mit „0“ werden durch eine 3× 3 Null-Matrix ersetzt.
Für jedes Symmetrie Element entsteht eine Matrix dieser Art, die Gesamtheit dieser Matrizen für
alle Gruppenelemente bilden bezüglich der Multiplikation eine Gruppe, die der reduziblen
Darstellung der Symmetriegruppe.
Matrix der Symmetrie
Operation, Dimension 3
3
R
⎡1
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
1
0
0⎤
⎥
0
⎥
1⎥⎦
Permutations-Matrix,
Dimension p
p
R
⎡0
⎢
⎣1
1⎤
0
⎥
⎦
3p dim. Matrix der
reduziblen Darstellung
3p
R
⎡0
⎢
⎢
0
⎢0
⎢1
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0⎤
⎥
0
⎥
1⎥
0⎥
⎥
0⎥
0
⎥
⎦
Abbildung 17 Beispiel für die Entstehung der Transformationsmatrix für die Auslenkungen
(Matrix der reduziblen Darstellung) bei zwei Teilchen unter der Wirkung einer zweizähligen
Drehachse
Bei der Transformation eines speziellen atomaren Auslenkungsfelds unter einer vierzähligen
Achse, die in Richtung c verlaufe, erkennt man, dass die Gruppe der Transformationsmatrizen für
die Auslenkungen eine Untergruppe der Symmetriegruppe ist (vgl. Homomorphe Abbildung,
4.2):