Symmetrie in physikalischen Eigenschaften des Festkörpers

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Im gezeichneten Beispiel in Abbildung 3 ist die Spannung nur in der Mitte des eingespannten
Körpers einigermaßen homogen, nach außen, weit entfernt von den die Spannung verursachenden
Auflagen, nehmen die Komponenten des Spannungstensors zu Null ab.
Der Spannungstensor wird meistens mit einem orthonormierten Basissystem formuliert. Ko- und
kontravariante Komponenten sind dann identisch, man schreibt gewöhnlich beide Indizes nach
unten, σ , formal also kovariante Komponenten.
ik
Ein Tensor zweiten Grades verknüpft mit einem verjüngenden Produkt zwei vektorielle
Eigenschaften. Diese Eigenschaft muss für die in der Abbildung eingeführten
Spannungskomponenten σ
ik
nachgewiesen werden. Man prüft deshalb für eine gegebene Fläche
dA, ob sich der Vektor der Spannung als verjüngendes Produkt des Spannungstensors mit der
Flächennormalen formulieren lässt.
Zur Nomenklatur: Für die Kräfte pro Fläche wird das Symbol t („tensile“) gewählt, F („force“)
steht für die Kraft, A („area“) für die Normale zur Fläche, n für die auf eins normierte
Flächennormale.
g
3
t ⋅ dA
dA
t3
⋅ dA
d F
n
g
2
g
1
t2
⋅ dA
d F
t1
⋅ dA
d F
Abbildung 5 An einem Flächenelement dA mit Normale n wirkende Kraft
orthogonalen Komponenten t1 ⋅ dA , t2 ⋅ dA und t3
⋅ dA
t ⋅ dA und ihre
Man betrachtet ein Volumenelement mit Tetraeder-Form und zerlegt die Kraft auf eine durch
ihren auf eins normierten Normalenvektor n gegebene Fläche dA zunächst nach Komponenten in
Richtung der Basisvektoren. Jede dieser Komponenten wird dann als Summe von Kräften