Symmetrie in physikalischen Eigenschaften des Festkörpers

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1.2 Linearer Vektorraum
x, y
Ein linearer Vektorraum ( L ) ist ein Satz von Objekten ,..... mit der Eigenschaft, dass
die Objekte mit komplexen Zahlen multipliziert und addiert werden können.
1. Sind x , y ∈ L, dann ist α ⋅ x∈ L und x + y ∈ L , α sei eine komplexe Zahl.
2. Es gilt das Distributiv-Gesetz:
( α + β ) ⋅x
= α ⋅ x + β ⋅x
( α ⋅ β ) ⋅ x = α ⋅( β ⋅ x)
α ⋅ x + y = α ⋅ x + α ⋅
( ) y
3. L enthält einen Nullvektor 0, so dass x + 0 = x
α ⋅ y
α ⋅ ( x + y)
y
x + y
α ⋅ x
x
Objekte des Vektorraums in der Festkörperphysik:
1. Vektoren des Orts-Raums x = ( x1 , x2,
x3
)
2. n⋅ n Matrizen oder Tensoren = ( x ik
)
x + y = ( x + y )
ik ik
x , i = 1 ... n,
k = 1...
n
3. Funktionen einer reellen oder komplexen Veränderlichen z:
x = ∑ x ⋅ f ( z)
, , x + y = ( x + y ) ⋅ f ( z)
r
r
r
∑
r
4. Atomare Auslenkungsfelder, bei N Teilchen 3N dimensional
r
r
r