Symmetrie in physikalischen Eigenschaften des Festkörpers

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Transformiert sich eine einfach indizierte Größe nach diesen Gesetzen, dann sind A die
kontravarianten Komponenten eines Tensors 1. Stufe, analog Al
die kovarianten Komponenten.
Dieses Transformationsverhalten ist eine für Tensoren charakteristische Eigenschaft.
3 Tensoren höherer Stufe
Die Eigenschaft, Objekte durch ihre Transformationseigenschaft bei Wechsel des
Koordinatensystems zu charakterisieren, dehnt den Begriff des Tensors sowohl auf Skalare ( z. B.
2
3
Änderung einer Längenangabe) , Vektoren aus R und R aus. Bei geeigneter Konstruktion lässt
sich die oben angegebene Transformationsvorschrift auf Vektoren eines höher-dimensionalen
Vektorraums ausdehnen. Diese Vektoren werden als „Tensoren höherer Stufe“ bezeichnet. Der
folgende Abschnitt zeigt die Konstruktionsvorschrift, zunächst für Tensoren zweiter Stufe.
3.1 Tensoren 2. Stufe
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Im R seien zwei Vektoren gegeben. Für diese wird ein neues Produkt, das „tensorielle Produkt“
eingeführt. Es ist das Ziel bei der im folgenden angegebenen Vorschrift, dass das Produkt die
Eigenschaften eines Elements eines Vektorraums trägt.
x , y
Vektoren aus
3
R
T = xy
Tensorielles Produkt
Das tensorielle Produkt genüge dem Distributivgesetz:
x , y , z
x ( y + z)
= xy + xz
( x + y)
z = xz + yz
Außerdem gelte das Assoziativgesetz:
x , y
α
( α x) y x( αy) = αxy
Vektoren aus
3
R
Distributivgesetz
Vektoren aus
Skalar
3
R
= Assoziativgesetz
Tabelle 25 Definition des tensoriellen Produkts