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Einführung<br />
Matroid-Probleme in <strong>Graphen</strong><br />
MST<br />
Matroide<br />
Greedy-Algorithmus<br />
Beweis<br />
Sei A = {a 1 , ..., a r } das Ergebnis des Algorithmus. Aus den<br />
Matroideigenschaften folgt, dass A eine Basis ist. Durch die<br />
Konstruktion des Algorithmus ist w(a 1 ) ≤ w(a 2 )... ≤ w(a r ).<br />
Sei nun B = {b 1 , ..., b r } eine Basis mit w(B) < w(A) und<br />
w(b 1 ) ≤ ... ≤ w(b r ). Dann gibt es einen kleinsten Index i mit<br />
w(b i ) < w(a i ). Es ist außerdem i ≥ 2. Wir betrachten die Mengen<br />
A i−1 und B i = {b 1 , ..., b i }. Nach dem Austauschaxiom gibt es ein<br />
b j ∈ B i \ A i−1 mit A i−1 ∪ {b j } ∈ F . Da aber<br />
w(b j ) ≤ w(b i ) < w(a i ) ist, hätte der Greedy-Algorithmus im i-ten<br />
Schritt b j statt a i gewählt. Widerspruch.<br />
Dr. Tobias Baumann<br />
Matroide
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