Graphen-Algorithmen

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Einführung Matroid-Probleme in <strong>Graphen</strong> MST Matroide Greedy-Algorithmus Beweis Sei A = {a 1 , ..., a r } das Ergebnis des Algorithmus. Aus den Matroideigenschaften folgt, dass A eine Basis ist. Durch die Konstruktion des Algorithmus ist w(a 1 ) ≤ w(a 2 )... ≤ w(a r ). Sei nun B = {b 1 , ..., b r } eine Basis mit w(B) < w(A) und w(b 1 ) ≤ ... ≤ w(b r ). Dann gibt es einen kleinsten Index i mit w(b i ) < w(a i ). Es ist außerdem i ≥ 2. Wir betrachten die Mengen A i−1 und B i = {b 1 , ..., b i }. Nach dem Austauschaxiom gibt es ein b j ∈ B i \ A i−1 mit A i−1 ∪ {b j } ∈ F . Da aber w(b j ) ≤ w(b i ) < w(a i ) ist, hätte der Greedy-Algorithmus im i-ten Schritt b j statt a i gewählt. Widerspruch. Dr. Tobias Baumann Matroide
Einführung Matroid-Probleme in <strong>Graphen</strong> Matroide Matching Kürzeste Wege Gibt es noch andere Graph-basierte Matroide? Beispiel Sei G = (V , E) ein Graph, I ⊆ V eine unabhängige Menge und k : I → N 0 . S = E F = {X ⊆ S : d X (v) ≤ k(v)∀v ∈ I }. Die Konstruktion M = (S, F ) ist ein Matroid. Beweis Forderungen 1 und 2 sind klar. Seien X , Y ∈ F mit |X | > |Y |. Sei I ′ = {v ∈ I : d Y (v) = k(v)}. Jetzt ist aber auch d X (v) ≤ k(v)∀v ∈ I ′ . Somit gibt es ein e ∈ X \ Y mit e /∈ N(v) für v ∈ I ′ . Somit ist Y ∪ {e} ∈ F . Dr. Tobias Baumann Matroide
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