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Einführung Matroid-Probleme in Graphen MST Matroide Matroide Definition Sei S eine endliche Menge und F ⊂ P(S) eine Familie von Untermengen von S. Das Paar M = (S, F ) heißt Matroid, falls folgendes gilt: ∅ ∈ F A ∈ F , B ⊆ A ⇒ B ∈ F A, B ∈ F , |B| = |A| + 1 ⇒ ∃s ∈ B \ A : A ∪ {s} ∈ F Eine maximale Menge in F heißt Basis des Matroids. Alle Basen eines Matroids M enthalten dieselbe Anzahl Elemente r(M), der Rang von M. Die Familie F wird auch als Familie der unabhängigen Mengen bezeichnet. (Nicht zu verwechseln mit unabhängigen Mengen in Graphen!) Sind nur die ersten beiden Forderungen erfüllt, sprechen wir von Unabhängigkeitssystemen. Dr. Tobias Baumann Matroide
Einführung Matroid-Probleme in Graphen MST Matroide Was heißt das? ∅ ∈ F A ∈ F , B ⊆ A ⇒ B ∈ F A, B ∈ F , |B| = |A| + 1 ⇒ ∃s ∈ B \ A : A ∪ {s} ∈ F Wir können jede Menge aus F durch Hinzunahme weiterer Elemente zu einer Basis ergänzen. Der Name Matroid erinnert an Matrizen: Seien a 1 , ..., a n Vektoren aus einem m-dimensionalen Vektorraum. Wir können die Vektoren als Spalten in einer m × n-Matrix sehen. Nun ist S die Menge der Vektoren. Eine Teilmenge A ⊆ S ist unabhängig, wenn die Vektoren in A linear unabhängig sind. Dann ist die dritte Forderung gerade der Steinitzsche Austauschsatz der Linearen Algebra. Der Rang ist dann die Dimension des Unterraums, der von den Vektoren in S aufgespannt wird. Dr. Tobias Baumann Matroide
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