Graphen-Algorithmen

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Einführung Matroid-Probleme in Graphen MST Matroide Grundlegende Eigenschaften Alle Basen eines Matroids haben dieselbe Kardinalität. ⇐⇒ Sind X , Y ∈ F mit |X | > |Y |, so gibt es ein x ∈ X \ Y mit Y ∪ {x} ∈ F . Dr. Tobias Baumann Matroide
Einführung Matroid-Probleme in Graphen MST Matroide Was haben Graphen mit Matroiden zu tun? Beim MST-Problem haben wir es mit einem Matroiden zu tun: MST ↔ Matroid Sei G = (V , E) ein Graph. Sei F ⊆ P(E) die Menge aller Wälder in G. Dann ist M = (E, F ) ein Matroid. Beweis ∅ ist ein Wald. Ist A ein Wald, dann ist jede Teilmenge von A ein Wald. Seien A, B zwei Wälder mit |A| + 1 = |B|. Weiter seien A 1 , ..., A m die Komponenten von A mit den Knotenmengen V 1 , ..., V m . Es gilt |A i | = |V i | − 1. Da nun |B| > |A| ist, muss es eine Kante e ∈ B geben, die zwei verschiedene Komponenten A s , A t miteinander verbindet. Somit ist A ∪ {e} ein Wald. Dr. Tobias Baumann Matroide
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