Graphen-Algorithmen

Einführung
Matroid-Probleme in Graphen
MST
Matroide
Was haben Graphen mit Matroiden zu tun?
Beim MST-Problem haben wir es mit einem Matroiden zu tun:
MST ↔ Matroid
Sei G = (V , E) ein Graph. Sei F ⊆ P(E) die Menge aller Wälder
in G. Dann ist M = (E, F ) ein Matroid.
Beweis
∅ ist ein Wald.
Ist A ein Wald, dann ist jede Teilmenge von A ein Wald.
Seien A, B zwei Wälder mit |A| + 1 = |B|. Weiter seien
A 1 , ..., A m die Komponenten von A mit den Knotenmengen
V 1 , ..., V m . Es gilt |A i | = |V i | − 1. Da nun |B| > |A| ist, muss
es eine Kante e ∈ B geben, die zwei verschiedene
Komponenten A s , A t miteinander verbindet. Somit ist A ∪ {e}
ein Wald.
Dr. Tobias Baumann
Matroide