11. Parametrische Signifikanztests

Für c)
Einseitiger Test da Größer Beziehung in H 1 gefragt:
Wert der t-Verteilung an der Stelle 0.95: t(0.95, 15) = 1.7531
Wir prüfen mit der Alternativhypothese ob der Testwert kleiner als der Wert der T-Funktion:
-2.74 ?> 1.7531.
Wir stellen fest, dies ist falsch. Deshalb verwerfen wir die Alternativhypothese und nehmen
die Nullhypothese an. µ ist nicht signifikant größer als 1000 sondern signifikant kleiner.
Aufgabe 4:
Die mittlere Lebensdauer einer Stichprobe von 100 Glühbirnen, die von einer Firma
hergestellt wurden, wurden mit 1570 Stunden bei einer Standardabweichung von 120
Stunden berechnet. Der Hersteller vermutet, dass die mittlere Lebensdauer seiner
Glühbirnen 1600 Stunden betrage. Nun möchte er mit 95 %iger Sicherheit feststellen,
ob diese Vermutung richtig ist.
a) Stellen Sie einen geeigneten Test auf, indem Sie die Hypothesen formulieren,
einen geeigneten Test wählen, dann den Test durchführen und schließlich Ihr
Ergebnis in einem kurzen Text darstellen.
Lösung: Gegeben n = 100; µ 0 = 1600, σ = 120; µ 1 = 1570; α = 0.05
Der Hersteller fragt sich ob der berechnete Mittelwert signifikant von seiner Vermutung
abweicht. Daraus ergeben sich die Hypothesen:
H 0 : µ 0 = µ 1
H 1 : µ 0 ≠ µ 1
Aus den Hypothesen ergibt sich ein zweiseitiger Test, mit der Testgröße:
( X −µ ) (1570 −1600)
v= n = 100 =−2.5
σ
120
Da die Mittelwerte bei ausreichend großer Stichprobe ( >30) normalverteilt sind wird der
Testwert mit der SNV an den Stellen (0.025) und (0.975), nämlich dem 95% Intervall um
den Wert verglichen.
SNV(0.025) = -1.96 und SNV(0.975) = 1.96
Nun prüfen wir ob der Wert im Intervall liegt und stellen fest, er liegt außerhalb. Deshalb
nehmen wir die Alternativhypothese an und verwerfen die Nullhypothese. Die Mittelwerte
sind also signifikant unterschiedlich. Der Hersteller liegt also mit seiner Annahme falsch.
b) Die Verbraucherschutzministerin möchte wissen, wie hoch die Lebensdauer
von mindestens 80% der Produktion ist. Bestimmen Sie diesen Wert für Frau
Kühnast.
Lösung: Hier ist einfach eine Intervallschätzung gefragt. KEIN TEST!!
Hierfür überführen wir die gegebene Normalverteilung in eine SNV, bzw. überführen
den Wert der SNV an der Stelle 0.8 SNV(0.8) = 0.845 in die Normalverteilung nach:
X = Z ⋅σ+µ= 0.845⋅ 120 + 1570 = 1671
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