Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

1.5. REGULÄRE KNOTENDIAGRAMME 7
ein paar weitere Regeln, so kann man den ursprünglichen Knoten (bis auf
Äquivalenz) eindeutig aus diesem zweidimensionalen Bild zurückgewinnen.
Damit die Sache wirklich eine Erleichterung darstellt, muss man klären,
was Äquivalenz (ambiente Isotopie bzw. kombinatorische Äquivalenz) auf
Niveau dieser Bilder bedeutet. Dies wird vollständig geklärt in dem Satz von
Reidemeister. Damit hat man das ursprüngliche dreidimensionale Problem
auf ein zweidimensionales reduziert.
Definition 1.5.1. Sei E eine feste gewählte Ebene in R 3 und L eine
(polygonale) Verschlingung (oder Knoten) in R 3 . Eine Parallelprojektion π :
L −→ E heißt regulär, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
(1) Es gibt höchstens Doppelpunkte, d. h. maximal zwei Punkte werden
auf ein und denselben Punkt in der Ebene abgebildet. In Formeln:
Für jeden Punkt x ∈ E gilt |π −1 (x)| ≤ 2.
(2) Es gibt nur endlich viele Doppelpunkte, d. h. es gibt nur endlich
viele x 1 , . . . , x t ∈ E mit |π −1 (x i )| = 2.
(3) Ein Eckpunkt wird niemals auf einen Doppelpunkt abgebildet, d. h.
π −1 (x i ) enthält keinen Eckpunkt (für i = 1, . . . , t).
Die Punkte x 1 , . . . , x t heißen auch Kreuzungspunkte.
Es folgt insbesondere, dass sich Teilstücke von π(L) nicht tangential,
sondern nur transversal schneiden.
Folgende Beispiele sind also bei einer regulären Projektion ausgeschlossen:
(der Reihe nach wegen (1), (3) bzw. (2)).
Die folgende Aussage ist intuitiv klar.
Lemma 1.5.2. Sei L eine (polygonale) Verschlingung im R 3 . Dann gibt
es eine Ebene E ⊂ R 3 und eine Paralellprojektion π : L −→ E.
In der Tat kann man “fast jede” Ebene nehmen. Da man zwei Verschlingungen
auch als eine Verschlingung auffassen kann, gibt es zu zwei Verschlingungen
L und L ′ eine gemeinsame Ebene E mit regulären Projektionen
π : L −→ E und π : L ′ −→ E.
Ebenso ist intuitiv klar, dass man sogar die Ebene E fest vorgeben kann
(z. B. die xy-Ebene) und nach einer eventuellen äquivalenten Überführung
von L in L ′ eine reguläre Projektion π : L ′ −→ E bekommt.
Bei einer regulären Projektion π : L −→ E verliert man Informationen
über die Verschlingung L. Man kann aber L bis auf Äquivalenz aus π(L)