Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

10 1. KNOTEN UND VERSCHLINGUNGEN
Satz 1.5.7 (Reidemeister). Zwei Verschlingunsdiagramme stellen äquivalente
Verschlingungen dar genau dann, wenn sie sich durch eine endliche
Anzahl von Reidemeisterbewegungen vom Typ Ω 1 , Ω 2 und Ω 3 und ebenen
Isotopien ineinander überführen lassen.
Beweis. Jede planare Isotopie oder Reidemeister-Bewegung lässt sich offenbar
durch eine räumliche ambiente Isotopie (bzw. kombinatorische Äquivalenz)
realisieren.
Schwieriger ist es, die Umkehrung zu zeigen. Wir beschränken uns in der
Argumentation auf Knoten. Sei K ein Knoten. Zunächst zeigen wir, dass
eine Änderung der Projektionsrichtung eine Deformation bewirkt, die durch
eine endliche Folge von Bewegungen des Typs Ω 0 , Ω 1 , Ω 2 , Ω 3 gegeben ist.
Bewegt man eine Projektionsebene E stetig in eine andere E ′ (beide regulär,
d. h. die zugehörigen Projektionen des Knoten K sind regulär), so wird man
i. a. unterwegs auf (endlich viele) nicht-reguläre Ebenen stoßen. Solange die
Ebenen regulär bleiben, ändert sich das Diagramm nur um Deformationen
vom Typ Ω 0 . Beim Überschreiten einer nicht-regulären Ebene, wobei eine
der Bedingungen (1), (2) bzw. (3) in Definition 1.5.1 verletzt ist (siehe die
der Definition anschließende Bilder; man stelle sich vor, wie man sich der
nicht-regulären Situation nähert und sie dann überschreitet), wird gerade
eine Reidemeister-Bewegung vom Typ Ω 3 (bei (1)) oder Ω 2 (bei (2) oder (3))
durchgeführt.
Wir nehmen nun an, dass der Knoten K durch eine elementare Bewegung,
die die Strecke [AB] ersetzt durch die Streckenzüge [AC] ∪ [CB], in
den Knoten K ′ überführt wird. Es genügt zu zeigen, dass sich D(K) durch
eine endliche Folge von Bewegungen des Typs Ω 0 , Ω 1 , Ω 2 und Ω 3 in D(K ′ )
überführen lässt. Nach dem vorherigen Beweisteil können wir annehmen,
dass die (regulären) Knotendiagramme D(K) und D(K ′ ) beide in derselben
Ebene E liegen. Sei π die entsprechende Parallelprojektion. Das Dreieck
[ACB] im Raum wird abgebildet auf das Dreieck ∆ = [acb] in E.
Man kann (nach evtl. Bewegung vom Typ Ω 1 ) annehmen, dass die Projektionen
der Strecken [AD] und [BE] mit dem Inneren des Dreiecks ∆ keine
Punkte gemeinsam haben.