Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

66 4. VASSILIEV-INVARIANTEN
4.3. Numerische Invarianten, die keine Vassiliev-Invarianten sind
Exemplarisch behandeln wir die Entknotungszahl.
Satz 4.3.1 (Birman-Lin). Die Entknotungszahl u(K) ist keine Vassiliev-
Invariante.
Beweis. Sei m = 4r mit r ∈ N. Sei K der Knoten aus Abbildung 4.3
mit m Doppelpunkten. Dieser hat 2 m Auflösungen K ε , und es berechnet sich
Abbildung 4.3. Ein Knoten mit m = 4r Doppelpunkten
die Verlängerung û(K) durch
û(K) = ∑ ε
(−1) |ε| u(K ε1 ,...,ε m
)
(vgl. Formel (4.1.5)). Offenbar ist K ε der Unknoten genau dann, wenn in
ε = (ε 1 , . . . , ε m ) genauso oft 1 wie −1 vorkommt. Dann ist u(K ε ) = 0.
Andernfalls ist offenbar u(K ε ) = 1. Es ist also zu zählen, in wieviel Tupeln ε
genau j-mal die −1 (und folglich (m−j)-mal die 1) vorkommt für j ≠ m−j,
also j ≠ m/2. Da die Anzahl und das Vorzeichen j und m − j gleich sind,
ergibt sich also
(
û(K) = 2 1 −
( ) 4r
+
1
( ) 4r
−
2
( ) ( ))
4r
4r
+ · · · −
.
3
2r − 1
Da die Binomialkoeffizienten wachsen und eine gerade Anzahl von Summanden
vorliegt, folgt û(K) < 0. Dies gilt für jede natürliche Zahl r.
Sei nun n ∈ N beliebig. Wähle r mit m = 4r > n. Dann liefert die
Verlängerung von u auf obigen Knoten K mit mehr als n-Doppelpunkten
einen Wert ≠ 0, also ist u nicht von der Ordnung ≤ n.
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