Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

50 3. KNOTEN UND ZÖPFE
Wir schauen uns dazu einen speziellen (erweiterten) Yang-Baxter-Operator
an. Sei K = Z[q −1 , q] und V ein freier K-Modul mit Basis v 1 , . . . , v m . Sei
E ij ∈ End(V ) mit E ij (v k ) = δ ik v j . Der Endomorphismus E ij ⊗ E kl schickt
das Basiselement v i ⊗ v k von V ⊗2 auf v j ⊗ v l und jedes andere auf Null.
Lemma 3.4.1. Mit
R = −q −1 ∑ i
E ii ⊗ E ii + ∑ i≠j
E ij ⊗ E ji + (q − q −1 ) ∑ i>j
E ii ⊗ E jj
erhält man einen Yang-Baxter-Operator.
Übung 3.4.2. Man beweise das Lemma für den Fall m = 2.
Lemma 3.4.3. Das Inverse zu R ist gegeben durch
R −1 = −q ∑ i
E ii ⊗ E ii + ∑ i≠j
E ij ⊗ E ji + (q −1 − q) ∑ ij
E ij ⊗ E ji + (q − q −1 ) ∑ i>j
E ij ⊗ E ji
= ∑ i, j
E ii ⊗ E jj = 1 V ⊗V ,
und ebenso R ′ ◦ R = 1 V ⊗V .
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Lemma 3.4.4. Es gilt
R − R −1 = (q − q −1 ) 1 V ⊗V .
Beweis. Subtraktion liefert sofort
R − R −1 = (q − q −1 ) ∑ i
E ii ⊗ E jj + (q − q −1 ) ∑ i≠j
E ii ⊗ E jj
= (q − q −1 ) ∑ i, j
E ii ⊗ E jj = 1 V ⊗V .
Lemma 3.4.5. Sei µ = diag(µ 1 , . . . , µ m ) mit µ i = q 2i−m−1 , sei α = −q −m
und β = 1. Dann ist S = (R, µ, α, β) ein erweiterter Yang-Baxter-Operator.
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