Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

22 2. DAS JONES-POLYNOM
unter Ω 1 , wenn a 3 = 1 gilt. (Allerdings ist dann 〈L〉 kein Polynom mehr in
der Variablen a.)
Dennoch wird das Klammerpolynom die Hauptrolle spielen bei der Konstruktion
des Jones-Polynoms, indem durch eine kleine Manipulation diese
Obstruktion beseitigt wird. Zunächst Beispiele für das Klammerpolynom:
Beispiel 2.1.1 (Hopf-Verschlingung).
〈 〉 = a〈 〉 + a −1 〈 〉
Analog erhält man auch
= a(−a 3 ) + a −1 (−a −3 ) = −a 4 − a −4 .
〈 〉 = −a 4 − a −4 .
Übung 2.1.2. Man zeige
〈 〉 = a 7 − a 3 − a −5
und
〈 〉 = a −7 − a −3 − a 5 .
Übung 2.1.3. Man berechne das Klammer-Polynom des Achter-Knotens.
Übung 2.1.4. Ist L die triviale Verschlingung aus n Komponenten, so
ist 〈L〉 = c n−1 = (−a 2 − a −2 ) n−1 .
Wie schon angemerkt, kann man einen Kreuzungspunkt auf zwei Arten
auflösen, indem man L in L A oder in L B überführt (vgl. Abbildung 2.1).
Insgesamt führt dies zu 2 n verschiedenen Auflösungen des Verschlingungsdiagramms,
wobei n die Anzahl der Kreuzungspunkte bezeichnet. Dies führt
zu dem Auflösungsbaum des Diagramms. Ein Beispiel ist in Abbildung 2.2
gezeigt.
Legt man in einem Diagramm für jeden Kreuzungspunkt eine der beiden
Auflösungsmöglichkeiten A oder B fest, so nennt man dies einen Zustand
des Diagramms. Jeder Kreuzungspunkt erhält den Zustand A oder B. Jedes
Diagramm mit n Kreuzungspunkten hat 2 n mögliche Zustände. Diese korrespondieren
mit den Ergebnissen in der untersten Schicht im Auflösungsbaum.