Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

2.3. DAS JONES-POLYNOM 29
so folgt
q −1 V (L ∗ i+1 ) − qV (L∗ i ) + (q−1/2 − q 1/2 )V ((L ′ i )∗ ) = 0.
Multipliziert man die letzte Gleichung mit −1 und ersetzt q durch q −1 , so
bekommt man
(2.3.6) q −1 V (L ∗ i )(q −1 ) − qV (L ∗ i+1)(q −1 ) + (q −1/2 − q 1/2 )V ((L ′ i) ∗ )(q −1 ) = 0.
Man führt nun wieder eine doppelte Induktion. Zunächst nimmt man induktiv
an, die Behauptung sei für Knoten mit weniger Überkreuzungen schon
gezeigt, d. h. es gilt V ((L ′ i )∗ )(q) = V (L ′ i )(q−1 ). Man sieht, dass man jetzt sukzessive
ausgehend vom Unknoten L k = L ∗ k sowohl L k−1, . . . , L 1 = K wie auch
L ∗ k−1 , . . . , L∗ 1 = K∗ berechnen kann. Ist V (L ∗ i+1 )(q) = V (L i+1)(q −1 ) schon
gezeigt, so folgt aus (2.3.4), den Induktionsvoraussetzungen und schließlich
aus (2.3.6)
)
V (L i ) = q
(qV (L i+1 ) − (q −1/2 − q 1/2 )V (L ′ i )
(
)
= q qV (L ∗ i+1)(q −1 ) − (q −1/2 − q 1/2 )V ((L ′ i) ∗ )(q −1 )
= V (L ∗ i )(q −1 ),
und dies beendet den Beweis.
Definition 2.3.11. Ein Knoten heißt amphichiral oder spiegelsymmetrisch,
falls er äquivalent ist zu seinem Spiegelbild.
Übung 2.3.12. Man zeige, dass für jeden spiegelsymmetrischen Knoten
K die Verwringung w(K) = 0 ist.
Übung 2.3.13. Man zeige, dass der Achter-Knoten spiegelsymmetrisch
ist, die Kleeblatt-Knoten jedoch nicht.
Definition 2.3.14. Ein orientierter Knoten heißt chiral oder umkehrbar,
falls er äquivalent zu sich mit umgekehrter Orientierung ist.
Übung 2.3.15. Man zeige, dass die Kleeblatt-Knoten umkehrbar sind.
Satz 2.3.16. (1) Falls die Anzahl der Komponenten der orientierten Verschlingung
L ungerade ist (also wenn z. B. L ein Knoten ist), so enthält das
Jones-Polynom nur Terme der Form q k (mit k ∈ Z).
(2) Falls die Anzahl der Komponenten der orientierten Verschlingung L
gerade ist, so enthält das Jones-Polynom nur Terme der Form q (2k+1)/2 (mit
k ∈ Z).
Beweis. Die triviale Verschlingung bestehend aus m Komponenten hat
das Jones-Polynom
(−q −1/2 − q 1/2 ) m−1 = q (m−1)/2 (−q −1 − 1) m−1 ,
also gilt die Behauptung für die trivialen Verschlingungen. Das Jones-Polynom
einer beliebigen orientierten Verschlingung L kann sukzessive mit der Relation
(2.3.1) aus der trivialen Verschlingung berechnet werden. Wir vergleichen
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