Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

KAPITEL 2
Das Jones-Polynom
2.1. Das Klammer-Polynom
Im folgenden werden wir Knoten und Verschlingungen meist mit ihren
Diagrammen identifizieren. Auch wenn wir nur “Knoten” und “Verschlingung”
schreiben, meinen wir meist genauer ein Knoten- bzw. ein Verschlingungsdiagramm.
Man möchte einem Verschlingungsdiagramm ein Polynom in den Variablen
a, b, c zuordnen, so dass folgendes gilt:
(2.1.1) 〈 〉 = a〈 〉 + b〈 〉
(2.1.2) 〈L ⊔ ○〉 = c〈L〉
(2.1.3) 〈○〉 = 1
(○ der Unknoten, ⊔ die disjunkte Vereinigung.) Dies ist ein Ansatz, bei
dem a, b und c zunächst noch Unbestimmte sind. Wir wollen untersuchen,
ob 〈L〉 invariant unter den Reidemeister-Bewegungen ist. Wir werden sehen,
dass dazu gewisse Abhängigkeiten zwischen a, b und c gelten müssen.
In der Relation (2.1.1) wird ein Kreuzungspunkt in einer Verschlingung
L auf zwei Arten aufgelöst (oder: entwirrt), was zu Verschlingungen L A und
L B führt:
L : L A : L B :
Abbildung 2.1. Zwei Auflösungen eines Kreuzungspunktes
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