Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

4.4. SEHNENDIAGRAMME 67
4.4. Sehnendiagramme
Wir wollen die Struktur der Vektorräume V n genauer untersuchen. Mit
den sogenannten Sehnendiagrammen bekommt man hierfür ein kombinatorisches
Hilfsmittel.
4.4.1 (Sehnendiagramme). Sei K ein singulärer Knoten mit genau n Doppelpunkten.
In Lemma 4.1.12 hat man gesehen, dass der Wert ̂v(K) für eine
Vassiliev-Invariante v der Ordnung ≤ n nicht von den “Verknotungen”
abhängt, sondern nur von der Folge der Doppelpunkte. Diese werden durch
Sehnendiagramme beschrieben.
Ein (orientierter) Knoten wird durch die (orientierte) Einheitskreislinie
S 1 parametrisiert. Ein Sehnendiagramm (auch Gauß-Diagramm; engl. chord
diagram) zu K ist ein kreisförmiges Diagramm, in dem man beim Durchlaufen
von S 1 die 2n Punkte auf dem Kreis markiert, die auf die n Doppelpunkte
abgebildet werden. Je zwei solcher Punkte werden mit einer Linie
(“Sehne”) verbunden, wenn sie auf denselben Doppelpunkt abgebildet werden.
Ein solches Sehnendiagramm ist von der Ordnung n. Die genaue geometrische
Form der Verbindungslinien spielt dabei keine Rolle. Es geht nur
darum, die Verbundenheit zweier Punkte anzuzeigen. Zwei Sehnendiagramme,
die ineinander durch einen orientierungsbewahrenden Diffeomorphismus
des S 1 übergehen, werden nicht unterschieden.
Die Knoten in Abbildung 4.1 haben die Sehnendiagramme
bzw.
, ein weiteres Beispiel ist in Abbildung 4.4 dargestellt. Die Sehnendiagramme
der Ordnung 3 sind in Abbildung 4.5 dargestellt.
Ein Sehnendiagramm (der Ordnung n) lässt sich natürlich auch abstrakt
ohne Anwesenheit von Knoten definieren.
Das Sehnendiagramm eines Knotens wird auch mit γ(K) bezeichnet.
3
1
2
1
3
2
3
2
1
Abbildung 4.4. Ein singulärer Knoten und sein Sehnendiagramm
Übung 4.4.2. Man gebe zu jedem der fünf Sehnendiagramme der Ordnung
3 einen singulären Knoten an.