Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

3.3. DIE YANG-BAXTER GLEICHUNG 45
(3) Seien f : V −→ V und g : W −→ W lineare Abbildungen. Definiere
eine lineare Abbildung f ⊗ g : V ⊗ W −→ V ⊗ W auf der Basis durch
v i ⊗ w j ↦→ f(v i ) ⊗ g(w j ). Es gilt dann
(f ⊗ g)(v ⊗ w) = f(v) ⊗ g(w) für allev ∈ V, w ∈ W.
Sei nämlich v = ∑ i α iv i und w = ∑ j β jw j . Dann ist wegen der Bilinearität
v ⊗ w = ∑ ∑
α i β j v i ⊗ w j ,
i j
also
(f ⊗ g)(v ⊗ w) Def
= ∑ i
∑
j
αα i β j f(v i ) ⊗ g(w j ) bilin.
= f(v) ⊗ g(w).
(4) Sind f und g bijektiv, so ist auch f ⊗ g bijektiv.
(5) Sei A = (α ij ) ∈ M m (K) die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basis
(v i ), und sei B = (β ij ) ∈ M n (K) die Darstellungsmatrix von g bzgl. der Basis
(w j ). Dann hat f ⊗g bzgl. der Basis (v i ⊗w j ) offenbar die Darstellungsmatrix
⎛
⎜
⎝
α 11 B α 12 B · · · α 1m B
α 21 B α 22 B · · · α 2m B
. .
.
α m1 B α m2 B · · · α mm B
⎞
⎟
⎠ .
Für m = 2 = n hat man also die Darstellungsmatrix
⎛
⎞
( ) α 11 β 11 α 11 β 12 α 12 β 11 α 12 β 12
α11 B α 12 B
= ⎜ α 11 β 21 α 11 β 22 α 12 β 21 α 12 β 22
⎟
α 21 B α 22 B ⎝ α 21 β 11 α 21 β 12 α 22 β 11 α 22 β 12
⎠ .
α 21 β 21 α 21 β 22 α 22 β 21 α 22 β 22
(6) Sind U, V , W Vektorräume, so kann man auch das Tensorprodukt
U ⊗ V ⊗ W = (U ⊗ V ) ⊗ W = U ⊗ (V ⊗ W ) betrachten. Entsprechendes für
mehrere Vektorräume. Ist n ≥ 1 eine natürliche Zahl, so bezeichne V ⊗n =
V ⊗ V ⊗ · · · ⊗ V (n Kopien). Entsprechendes gelte für lineare Abbildungen.
(7) Für f 1 , f 2 ∈ End(V ) und g 1 , g 2 ∈ End(W ) ergibt sich unmittelbar
aus der Definition
(f 2 ⊗ g 2 ) ◦ (f 1 ⊗ g 1 ) = (f 2 ◦ f 1 ) ⊗ (g 2 ◦ g 1 ).
Bemerkung 3.3.2. (1) Durch obige Eigenschaften (1) und (2) ist das Tensorprodukt
V ⊗ W weder eindeutig definiert, noch ist die Existenz einer solchen Basis und bilinearen
Abbildung unmittelbar klar. Es handelt sich bei den Eigenschaften (1) und (2) um die
wesentlichen Eigenschaften, die wir im folgenden verwenden wollen.
(2) Konstruktion des Tensorprodukts. Es gibt Isomorphismen V ≃ K m und W ≃ K n ,
die jeweils die Basen (v i ) und (w j ) auf die Standardbasen (e i ) und (f j ) schicken. Definiere
V ⊗ W als K mn . Definiere τ(v i , w j ) als den j + (i − 1)n-ten Standardbasisvektor in K mn .
∑
j α iβ j τ(v i , w j ). Es
Sind v = ∑ i α iv i und w = ∑ j β jw j , so definiert man τ(v, w) = ∑ i
ist dann offensichtlich, dass τ : V × W −→ V ⊗ W eine bilineare Abbildung ist, und dass
τ(v i , w j ) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) eine Basis von V ⊗ W ist.
(3) Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts. Ist f : V ×W −→ X eine bilineare Abbildung
in den K-Vektorraum X, so gibt es genau eine lineare Abbildung f : V ⊗W −→ X