Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...
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72 4. VASSILIEV-INVARIANTEN<br />
4.6. Vassiliev-Invarianten kleiner Ordnung<br />
Bis n = 4 kann man noch “per Hand” die Räume der Sehnendiagramme<br />
und die 1-Term und 4-Term Relationen bestimmen. Außerdem werden wir<br />
Vassiliev-Invarianten der Ordnungen 2 und 3 explizit bestimmen.<br />
Proposition 4.6.1. (a) Eine Basis von C 2 /C (1,4)<br />
2 ist gegeben durch (die<br />
Klasse von)<br />
.<br />
(b) Eine Basis von C 3 /C (1,4)<br />
3 ist gegeben durch (die Klasse von)<br />
.<br />
(c) Eine Basis von C 4 /C (1,4)<br />
4 ist gegeben durch (die Klassen von)<br />
.<br />
Beweis. (a) Klar.<br />
(b) In dem Faktorraum gilt, wegen der 4-Term Relation<br />
Hier verschwindet der dritte Term wegen der 1-Term Relation, und man<br />
erhält<br />
.<br />
= 2 · .<br />
Da die letzten drei Sehnendiagramme in Abbildung 4.5 wegen der 1-Term<br />
Relation zu null werden, folgt die Behauptung.<br />
(c) Es gelten die Relationen in Abbildung 4.7 Dies folgt jeweils leicht aus<br />
Betrachtung der folgenden zwei weiteren Sehnen, jeweils <strong>für</strong> den ersten Term<br />
dargestellt:
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