Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

28 2. DAS JONES-POLYNOM
und es folgt
V ( ) = q −2 + q −1 (q 1/2 − q −1/2 )(q −1/2 + q −5/2 )
= q −1 + q −3 − q −4 .
Übung 2.3.8. Man berechne das Jones-Polynom vom Achter-Knoten nur
mit Hilfe der Relationen (2.3.1)–(2.3.3).
Übung 2.3.9. Man berechne das Jones-Polynoms folgenden Knotens,
einmal mit Hilfe des Klammer-Polynoms, ein anderes mal mit Hilfe der Relationen
(2.3.1)–(2.3.3).
Abbildung 2.4. Knoten zum Berechnen des Jones-Polynoms
Der linkshändige Kleeblatt-Knoten ist das Spiegelbild des rechtshändigen
Kleeblattknotens. Wir hatten schon gesehen, das sich die Kauffman-Polynome
dieser beiden Knoten dadurch unterscheiden, dass die Variable a durch a −1
ersetzt wird. Entsprechendes gilt für das Jones-Polynom. Allgemein:
Satz 2.3.10 (Spiegelbild). Sei K ein orientierter Knoten und K ∗ das
Spiegelbild. Dann gilt
V (K ∗ )(q) = V (K)(q −1 ).
In Worten: Das Jones-Polynom des Spiegelbildes erhält man, indem man q
durch q −1 ersetzt.
Beweis. Wir schauen uns nochmal den Beweis von Satz 2.3.6 an mit
L = K. Da L = L 1 , L 2 , . . . , L k durch sukzessive Kreuzungswechsel den
Unknoten L k liefern, gilt dies offenbar auch für die Folge der Spiegelbilder
L ∗ = L ∗ 1, L ∗ 2, . . . , L ∗ k . Hier haben die Kreuzungen jeweils umgekehrte Vorzeichen.
Es folgt, dass wenn für L i eine der beiden Relationen (2.3.4) oder (2.3.5)
gilt, für L ∗ i gerade die andere Relation gilt, wobei dort alle vorkommenden
Verschlingungen durch ihre Spiegelbilder zu ersetzen sind. Konkret: Gilt etwa
(2.3.4), also
q −1 V (L i ) − qV (L i+1 ) + (q −1/2 − q 1/2 )V (L ′ i) = 0,