Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

46 3. KNOTEN UND ZÖPFE
mit f ◦ τ = f. Das Tensorprodukt erlaubt also eine Linearisierung einer bilinearen Abbildung.
Durch diese universelle Eigenschaft ist das Tensorprodukt V ⊗ W schon eindeutig
bestimmt (bis auf Isomorphie).
Beweis der universellen Eigenschaft: Sei V ⊗ W wie in (2) konstruiert. Sei f : V ×
W −→ X bilinear. Definiere die lineare Abbildung f auf der Basis τ(v i , w j ) durch
f(τ(v i , w j )) Def
= f(v i , w j ). Dann ist unmittelbar klar, dass f ◦ τ = f gilt. Soll andererseits
diese Gleichung gelten, so muss man f wie oben definieren.
3.3.3 (Freie Moduln). Es wird im folgenden wichtig sein, vorherige Aussagen
in einem allgemeinerem Setting zu betrachten. Dazu wollen wir den
Körper K ersetzen durch einen kommutativen Ring mit Eins. Da wir Knotenpolynome
(ähnlich dem Jones-Polynom) konstruieren wollen, stelle man
sich als Standardbeispiel etwa den (Laurent-) Polynomring Z[q −1 , q] vor.
Völlig analog zum Begriff des Vektorraums definiert man sogenannte Moduln
über K. Dies ist eine Menge V mit zwei Verknüpfungen + : V ×V −→ V
und · : K × V −→ V , so dass (V, +) eine abelsche Gruppe ist und die “Skalarmultiplikation”
folgende Eigenschaften hat:
α(v + v ′ ) = αv + αv ′ (α + α ′ )v = αv + αv ′ (αα ′ )v = α(α ′ v) 1v = v
für alle α, α ′ ∈ K und v, v ′ ∈ V . Dies sind also exakt dieselben Axiome wie
für Vektorräume. Der wesentliche Unterschied zur Theorie der Vektorräume
ist, dass allgemein ein Modul über einem kommutativen Ring keine Basis
mehr zu besitzen braucht. (Eine Basis ist wie über Körpern definiert, also
als linear unabhängiges Erzeugendensystem.) Gibt es eine Basis in V , so
heißt V ein freier Modul. Wir betrachten im folgenden nur endlich erzeugte
freie K-Moduln.
K-lineare Abbildung zwischen K-Moduln sind definiert wie für Vektorräume.
Jeder (endlich erzeugte) freie K-Modul ist isomorph zu K n für
ein n. Es ist offensichtlich, dass alle gemachten Aussagen über Tensorprodukte
genauso für freie Moduln gelten. Es ist daher keine Einschränkung
– zumindest für die Theorie –, sich stets den Spezialfall von Vektorräumen
über Körpern vorzustellen.
3.3.4 (Yang-Baxter-Operator). Sei R : V ⊗ V −→ V ⊗ V ein Automorphismus
(= bijektive lineare Abbildung). Für jedes n ∈ N definiert dies n−1
Automorphismen
R i = 1 ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ 1 ⊗ R ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ 1 : V ⊗n −→ V ⊗n ,
wobei hier R nur auf der i-ten und der (i + 1)-ten Kopie von V operiert
(i = 1, . . . , n − 1); es gilt also
(3.3.1) R i (x 1 ⊗x 2 ⊗. . .⊗x n ) = x 1 ⊗. . .⊗x i−1 ⊗R(x i ⊗x i+1 )⊗x i+2 ⊗. . .⊗x n .
Dann heißt R ein Yang-Baxter-Operator (oder eine R-Matrix, falls die Basis
fest gewählt ist), falls die Yang-Baxter-Gleichung
(3.3.2) R 1 R 2 R 1 = R 2 R 1 R 2
erfüllt ist. Es folgt dann offenbar
(3.3.3) R i R i+1 R i = R i+1 R i R i+1 (i = 1, . . . , n − 1).