Dichtefunktionalberechnungen für Seltenerd- und¨Ubergangsmetall ...

3.2. LOKALE BASISZUSTÄNDE 25
mit Wellenfunktionen |φ ρκµ 〉 in der Form von (3.29). Es kann jedoch gezeigt
werden, daß Terme mit unterschiedlichem Drehimpuls der großen Komponente
l κ nur über die kleine Komponente koppeln und von der Ordnung O(1/c 2 )
sind [27]. In Ref. [28] wird allerdings darauf hingewiesen, daß die Kopplungsterme
höher Ordnung für die Berechnung sehr kleiner Größen wie der magnetokristallinen
Anisotropieenergie relavant sein könnten.
Wir vernachlässigen – wie in den meisten numerischen Berechnungen – die magnetischen
Kopplungsterme der Ordnung O(1/c 2 ) und machen für die Lösungen
der Dirac-Gleichung (3.35) den Ansatz
˜φ ρκµ (⃗r) = φ ρκκµ (⃗r) + φ ρκ˜κµ (⃗r)
( )
gρκκµ (r)χ
=
κµ (ˆr)
+
if ρκκµ (r)χ −κµ (ˆr)
(
gρκ˜κµ (r)χ˜κµ (ˆr)
if ρκ˜κµ (r)χ −˜κµ (ˆr)
)
(3.38)
wobei ˜κ = −κ−1, so daß l κ = l˜κ , und der Index κ so zu verstehen ist, daß ˜φ ρκµ
im Falle eines verschwindenden Magnetfeldes Eigenzustand von K und J z ist.
Als nächstes untersuchen wir die Wirkung des Operators
Ĥ 1 = β Σ z B at (3.39)
auf φ ρκ¯κµ , mit ¯κ = κ oder ¯κ = ˜κ:
( ) ( )
H 1 φ ρκ¯κµ (⃗r) = B at σz 0
(r)
gρκ¯κµ (r) χ¯κµ (ˆr)
0 −σ z if ρκ¯κµ (r) χ −¯κµ (ˆr)
( )
= B at (r)
gρκ¯κµ (r) σ z χ¯κµ (ˆr)
−if ρκ¯κµ (r) σ z χ −¯κµ (ˆr)
(
= B at (r)
gρκ¯κµ (r) ( )
α µ¯κ¯κ χ¯κµ (ˆr) + α χ˜¯κµ(ˆr)
µ¯κ˜¯κ
−if ρκ¯κµ (r) α µ −¯κ−¯κ χ −¯κµ (ˆr)
)
,
(3.40)
wobei in der letzten Zeile der magnetische Kopplungsterm zwischen kleinen
Komponenten vernachlässigt wurde und wir die Relation
mit
〈χ κ ′ µ ′|σ z|χ κµ 〉 = c κ ′ µ ′ ↑c κµ↑ 〈Y lκ ′µ ′ − 1 |Y
2 lκµ− 1 〉 − c κ ′ µ ′ ↓c κµ↓ 〈Y lκ
2
′µ ′ + 1 |Y
2 lκµ+ 1 〉
2
= δ lκ ′l κ
δ µ ′ µα µ κ ′ κ
(3.41)
α µ κ ′ κ = c κ ′ µ↑c κµ↑ − c κ ′ µ↓c κµ↓ = α µ κκ ′ (3.42)
benutzt haben. Einsetzen von (3.38) in Gleichung (3.35) ergibt unter Verwendung
von (3.40) ein System von vier gekoppelten Differentialgleichungen
Ĥ at | ˜φ ρκµ 〉 = ɛ ρκµ | ˜φ ρκµ 〉 (3.43)
= c
∣ (−f ρκκµ ′ + κ−1f
〉
〉
r ρκκµ)χ κµ
(ig ρκκµ ′ + i κ+1g
+
r ρκκµ)χ −κµ
∣ (c2 + V 0 + δ νv ( r
r 0
) 4 )g ρκκµ χ κµ
(−c 2 + V 0 )if ρκκµ χ −κµ + c
∣ (−f ρκ˜κµ ′ + ˜κ−1f
〉
〉
r ρκ˜κµ)χ˜κµ
(ig ρκ˜κµ ′ + i ˜κ+1g
+
(c 2 + V 0 + δ νv ( r
r 0
) 4 )g ρκ˜κµ χ˜κµ
r ρκ˜κµ)χ −˜κµ
∣ (−c 2 + V 0 )if ρκ˜κµ χ −˜κµ
∣ ∣∣∣
+ B at g ρκκµ (α κκχ µ κµ + α µ κ˜κ χ˜κµ) + g ρκ˜κµ (α µ˜κ˜κ χ˜κµ + α µ˜κκ χ 〉
κµ)
−if ρκκµ α µ −κ−κ χ −κµ − if ρκ˜κµ (r) α µ −˜κ−˜κ χ ,
−˜κµ