Dichtefunktionalberechnungen für Seltenerd- und¨Ubergangsmetall ...

3.3. BERECHNUNG DER ÜBERLAPP- UND HAMILTONMATRIX 27
Matrixelementen 〈0⃗s ′ ν ′ |H| R⃗sν〉 ⃗ auftreten, zeitaufwendig 2 ist.
Die allgemeine Struktur der Matrizen S und H ist für nichtmagnetische, magnetische
oder auch nichtrelativistische Rechnungen ähnlich. Die Überlappmatrix
S( ⃗ k) und die Hamiltonmatrix H( ⃗ k) bestehen aus jeweils vier Blöcken
S =
( )
Scc S cv
S vc S vv
und H =
( )
Hcc H cv
, (3.50)
H vc H vv
deren Berechnung unterschiedlich komplex ist. Die Core-Core-Blöcke sind diagonal
und ergeben sich ohne weiteren Rechenaufwand aus den atomaren Rechnungen:
und
S ⃗s ′ c ′ ,⃗sc (⃗ k) = ∑ ⃗ R
〈0⃗s ′ c ′ | ⃗ R⃗sc〉e i⃗ k( ⃗ R+⃗s− ⃗ s ′ )
= δ ⃗s ′ ⃗s δ c ′ c (3.51)
H ⃗s ′ c ′ ,⃗sc (⃗ k) = ∑ ⃗ R
〈0⃗s ′ c ′ |H| ⃗ R⃗sc〉e i⃗ k( ⃗ R+⃗s− ⃗ s ′ )
Für die Core-Valenzblöcke gilt S cv = S † vc wegen
= ɛ ⃗sc δ ⃗s ⃗ s ′δ cc ′. (3.52)
S ⃗s ′ c,⃗sv (⃗ k) = ∑ ⃗ R
〈0⃗s ′ c| ⃗ R⃗sv〉 e i⃗ k( ⃗ R+⃗s− ⃗ s ′ )
= ∑ ⃗ R
〈 ⃗ R⃗sv|0⃗s ′ c〉 ∗ e i⃗ k( ⃗ R+⃗s− ⃗ s ′ )
= ∑ ⃗ R
〈0⃗sv| − ⃗ R⃗s ′ c〉 ∗ e −i⃗ k(− ⃗ R−⃗s+ ⃗ s ′ )
= ∑ ⃗ R
〈0⃗sv| ⃗ R⃗s ′ c〉 ∗ e −i⃗ k( ⃗ R−⃗s+ ⃗ s ′ )
= S ∗ ⃗sv, ⃗ s ′ c
(3.53)
und H cv = H † vc, da
H ⃗s ′ c,⃗sv (⃗ k) = ∑ ⃗ R
〈0⃗s ′ c|H| ⃗ R⃗sv〉 e i⃗ k( ⃗ R+⃗s− ⃗ s ′ )
∑
= ɛ ⃗s ′ c
〈0⃗s ′ c| R⃗sv〉 ⃗ e i⃗ k( R+⃗s− ⃗ s ⃗′ )
⃗R
= ɛ ⃗s ′ c S ⃗ s ′ c,⃗sv (⃗ k)
= H ∗ ⃗sv, ⃗ s ′ c (⃗ k), (3.54)
2 Die Matrixelemente 〈0⃗s ′ ν ′ | · · · | ⃗ R⃗sν〉 sind unabhängig von der Dichte des Gitters im reziproken
Raum, so daß bei einer großen Anzahl von ⃗ k-Punkten, wie sie z.B. zur Berechnung
der magnetokristallinen Anisotropieenergie notwendig ist, andere Programmteile zeitaufwendiger
werden können.