Dichtefunktionalberechnungen für Seltenerd- und¨Ubergangsmetall ...

Kapitel 1
Einleitung
Die exakte Berechnung des quantenmechanischen Vielteilchenproblems in einem
Festkörper stellt bei einer Teilchenzahl der Größenordnung 10 23 (und
dreimal so vielen gekoppelten partiellen Differentialgleichungen) auch mit modernster
Computertechnik ein aussichtsloses Unterfangen dar.
Durch die adiabatische Näherung, die auf den unterschiedlichen Massen von
Elektronen und Atomkernen beruht, lassen sich die Bewegungsgleichungen von
Elektronen und Kernen entkoppeln, so daß sich der Festkörper als starres
Gefüge von Atomkernen betrachten läßt, in deren Potential sich die Elektronen
bewegen.
Eine weitere Vereinfachung des Problems ergibt sich durch die Annahme idealer
Kristalle mit periodischen Randbedingungen, so daß sich das Blochtheorem
verwenden läßt und die Berechnung im wesentlichen auf eine Elementarzelle
reduziert wird.
Doch selbst mit diesen Näherungen ist die Berechnung der elektronischen Eigenschaften
immer noch weit davon entfernt, trivial zu sein. Erste quantitative
Erfolge in der theoretischen (mikroskopischen) Beschreibung der elektronischen
Eigenschaften von Festkörpern kamen durch Hartree-Fock-basierte Näherungen
wie Slaters X α -Methode zustande.
Der entscheidende Durchbruch bei der mikroskopischen Beschreibung von Festkörpern
kam jedoch mit der Entwicklung der Dichtefunktionaltheorie durch
Hohenberg, Kohn und Sham in der Mitte der 60er Jahre. Durch diese Theorie
wird das Vielteilchenproblem für den Grundzustand auf die selbstkonsistente
Lösung einer Einteilchengleichung in einem effektiven Potential, der Kohn-
Sham-Gleichung, zurückgeführt. Für das in dieser Gleichung auftretende unbekannte
Austausch- und Korrelationspotential existieren explizite Näherungsausdrücke,
die die Berechnung der Grundzustandseigenschaften von Atomen,
Molekülen und Festkörpern mit hoher Genauigkeit ermöglichen.
Die Bedeutung der Dichtefunktionaltheorie für die Naturwissenschaften manifestiert
sich nicht zuletzt in der Verleihung des Nobelpreises für Chemie an
W. Kohn im Jahr 1998. Die Theorie, in deren Rahmen auch die Berechnungen
dieser Arbeit durchgeführt wurden, wird im nächsten Kapitel skizziert.
Die enormen Fortschritte bei der Berechnung von Festkörpereigenschaften in
den letzten Jahrzehnten beruhen auf der Entwicklung höchst unterschiedlicher,
effizienter Bandstrukturverfahren zur Lösung der Kohn-Sham-Gleichung, wie
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