Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

die Funktion Fibonacci. Nach Fibonacci[50] erhält man 12586269025 als f 50 . Bei
Maple hat man durch with(combinat): ein package zu laden und erhält dann nach
fibonacci(50); dasselbe Ergebnis.
Von den vielen Zusammenhängen zwischen der Goldenen-Schnitt-Zahl φ und der
Fibonacci-Folge seien hier nur die folgenden genannt.
• Es ist
φ = lim
k→∞
f k+1
f k
.
Dies wird in Unterabschnitt 5.4 nachgewiesen. Ferner:
• Es gilt die Formel von Binet:
f k = 1 √
5
(φ k − (−φ) −k ), k = 0, 1, . . . .
• Es ist
φ k = f k φ + f k−1 , k = 1, 2, . . . .
Diese beiden Beziehungen beweist man leicht durch vollständige Induktion.
Weiter wollen wir zunächst auf Fibonacci-Zahlen nicht eingehen. Die Literatur hierzu
ist außerordentlich reichhaltig. Z. B. kann man sich 15 200 000 Webseiten ansehen,
in denen das Wort “Fibonacci” vorkommt. Hingewiesen sei insbesondere auf
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
Dort findet man viele weitere Links, z. B. solche mit so viel versprechenden Titeln wie
• Fibonacci Numbers and Nature.
• The Golden Section in Nature.
2.1 Aufgaben
1. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 ,
k = 2, 3, . . .. Dann ist
f k+1 f k−1 − f 2 k = (−1)k , k = 1, 2, . . . .
2. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 ,
k = 2, 3, . . .. Dann ist
∞∑ (−1) k+1
φ = 1 +
.
f k f k+1
k=1
3. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 ,
k = 2, 3, . . .. Man zeige:
(a) Für k = 0, 1, . . . und l ∈ N ist f k+l = f l f k+1 + f l−1 f k .
(b) Es ist f 2k+1 = fk+1 2 + f k 2 , k = 0, 1, . . ..
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