Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

6.4 Aufgaben in Abschnitt 4
1. Man zeige: In ein gegebenes Quadrat kann man ein goldenes Rechteck so einbeschreiben
(d. h. die Ecken des Rechtecks liegen auf unterschiedlichen Seiten des Quadrates), dass
seine Ecken die Seiten des Quadrats im goldenen Schnitt teilen.
Lösung: Gegeben sei ein Quadrat ABCD, siehe Abbildung 29. Man teile die Seiten des
D
R
C
S
Q
A
P
B
Abbildung 29: Ein einem Quadrat einbeschriebenes goldenes Rechteck
Quadrats in der in Abbildung 29 angegebenen Weise nach dem goldenen Schnitt und
gewinne hierdurch die Punkte P , Q, R und S. Ist ABCD das Einheitsquadrat [0, 1] 2 ,
was wir ohne Einschränkung annehmen können, so ist
P = (1/φ, 0), Q = (1, 1 − 1/φ), R = (1 − 1/φ, 1), S = (0, 1/φ).
Wegen Q − P = R − S und R − Q = S − P ist P QRS ein Parallelogrann (gegenüberliegende
Seiten sind parallel), wegen (R − S) T (P − S) = 0 ist es ein Rechteck. Weiter
ist
√
|RQ| 2/φ
|P Q| = √ = φ,
2(1 − 1/φ)
womit gezeigt ist, dass P QRS ein goldenes Rechteck ist.
2. Gegeben sei ein Quader mit dem Volumen 1, eine Kantenlänge sei 1 und die Länge der
Raumdiagonale sei 2. Man bestimme die beiden anderen Kantenlängen.
Lösung: Die Kantenlängen des Quaders seien a, b > 0 und c = 1. Nach Voraussetzung
ist ab = 1 und √ a 2 + b 2 + 1 = 2 bzw. a 2 + b 2 = 3. Als positive Lösungen erhält man
(a, b) = (φ, 1/φ) und natürlich auch (a, b) = (1/φ, φ). Zumindestens eine Kantenlänge
des gesuchten Quaders ist also die goldene Schnitt Zahl φ.
3. Man betrachte 20 Abbildung 30 links, in welcher einem Quadrat ein gleichschenkliges
Dreieck einbeschrieben ist, wobei die Basis des Dreiecks eine Seite des Quadrats ist.
Man bestimme das Verhältnis aus der Länge der Basisseite und des Durchmessers des
Inkreises.
20 Siehe A. Beutelspacher, B. Petri (1996, S. 73).
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