Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

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= f 2 k + f 2 k+1 + f k(f k−1 + f k+1 ) = f k f k+1 + f k (f k + f k−1 ) + f 2 k+1 = f k f k+1 + f k+1 (f k + f k+1 ) = f k f k+1 + f k+1 f k+2 = f k+1 (f k + f k+2 ) = f k+1 g k+1 . Damit ist auch die zweite Aussage bewiesen. 7. Allgemeiner als in Aufgabe 6 bezeichnet man eine Folge {a k } k=0,1,... als eine Lucas- Folge, wenn a k = a k−1 + a k−2 , k = 2, 3, . . .. Man zeige, dass a k = a 1 f k + a 0 f k−1 , k = 1, 2, . . . , wobei {f k } natürlich die Folge der Fibonacci-Zahlen ist. Lösung: Die Aussage ist offenbar für k = 1, 2 richtig. Angenommen, sie sei auch für k richtig. Dann ist a k+1 = a k + a k−1 = a 1 f k + a 0 f k−1 + a 1 f k−1 + a 0 f k−2 = a 1 (f k + f k−1 ) + a 0 (f k−1 + f k−2 ) = a 1 f k+1 + a 0 f k , womit der Induktionsbeweis abgeschlossen ist. 8. Sei {a k } k=0,1,... eine Lucas-Folge, siehe Aufgabe 7, und a 0 + a 1 φ ≠ 0. Dann ist a k+1 lim = φ. k→∞ a k Lösung: Wegen Aufgabe 7 und f k+1 /f k → φ ist a k+1 a k = a 1f k+1 + a 0 f k a 1 f k + a 0 f k−1 = f k(a 0 + a 1 f k+1 /f k ) f k−1 (a 0 + a 1 f k /f k−1 ) → φa 0 + a 1 φ a 0 + a 1 φ = φ, womit die Aussage bewiesen ist. 6.3 Aufgaben in Abschnitt 3 1. Man gebe einen analytischen Beweis für die Aussage: Diagonalen, die im gleichseitigen und gleichwinkligen Fünfeck zwei aufeinanderfolgenden Winkeln gegenüberliegen, teilen einander stetig; und ihre größeren Abschnitte sind der Fünfeckseite gleich. Lösung: Wir gehen o. B. d. A. von einem regulären Fünfeck mit Ecken in A k := e ik2π/5 , k = 0, 1, 2, 3, 4 aus, siehe Abbildung 28. Mit Hilfe von Mathematica und Solve[{(1-t)*Cos[8*Pi/5]+t*Cos[2*Pi/5]==(1-s)*Cos[4*Pi/5]+s, (1-t)*Sin[8*Pi/5]+t*Sin[2*Pi/5]==(1-s)*Sin[4*Pi/5]},{s,t}] FullSimplify[%] 44
A 1 A 0 A 2 P A 3 A 4 Abbildung 28: Schnitt der Diagonalen im regulären Fünfeck erhalten wir, dass s = t = 1 2 (−1 + √ 5) = 1 φ und P := (1 − t)A 4 + tA 1 = (1 − s)A 2 + sA 0 der gesuchte Schnittpunkt ist. Folglich ist |A 1 A 4 | |P A 4 | = |A 1A 4 | t |A 1 A 4 | = φ, |A 0 A 2 | = |A 0A 2 | |P A 2 | s |A 0 A 2 | = φ. Damit ist gezeigt, dass die Diagonalen im regulären Fünfeck sich nach dem goldenen Schnitt teilen. Ferner ist √ 1 |P A 4 | = |A 0 A 4 | = 2 (5 − √ 5) = 2 sin π 5 gerade die Seitenlänge des dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen Fünfecks. 2. Man beweise, dass √ 5 irrational ist. Lösung: Angenommen, es sei √ 5 = p q , wobei p, q ∈ N. Wir werden zeigen, dass es dann p 1 , q 1 ∈ N mit q 1 < q und p/q = p 1 /q 1 gibt. Dies ergibt einen Widerspruch, da die selbe Argumentation auf die Darstellung √ 2 = p1 /q 1 angewandt werden kann und jede natürliche Zahl nur endlich viele natürliche Vorgänger hat. Wir setzen p 1 := −2p + 5q, q 1 := p − 2q. Es ist p 1 > 0 bzw. p 1 ∈ N, da 5/2 > √ 5, und q 1 > 0 bzw. q 1 ∈ N, da √ 5 > 2. Weiter ist q 1 < q, da √ 5 < 3. Wegen 5q 2 = p 2 ist ferner p 1 /q 1 = p/q, womit der Beweis abgeschlossen ist. 45
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