Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

Ein analytischer Beweis basiert einfach auf der Gleichung
1
(
1 + 1 )
= 1.
φ φ
Euklids Beweis wird in Abbildung 11 veranschaulicht. Die Strecke AB seim Punkt C
D
A
C
B
L
H
K
E
Abbildung 11: Beweis von Proposition 5 in Buch XIII
stetig geteilt, AC sei der größere Abschnitt und |DA| = |AC|. Zu zeigen ist, dass die
Strecke DB in A stetig geteilt wird und die Ausgangsstrecke AB der größere Abschnitt
ist. Wie in Abbildung 11 angegeben, konstruiere man das Quadrat AE und das Rechteck
DK. Man hat zu zeigen, dass ihre Flächeninhalte gleich sind. Da die Strecke AB
in C nach dem goldenen Schnitt geteilt wird, ist der Flächeninhalt des Quadrates DH
gleich dem des Rechtecks HE, woraus die Behaupung unmittelbar folgt.
• Von ihrer fünften wunderbaren Wirkung (Cap. XIV).
Wenn eine Größe nach unserer genannten Proportion getheilt ist, so ist stets die
Summe des Quadrats des kleineren Abschnittes und des Quadrats der ganzen
Größe das dreifache des Quadrats des grösseren Abschnittes.
Genau diese Aussage findet man bei Euklid (XIII, 4). Die Aussage ist richtig, da
(
1 −
φ) 1 2 ( 1
) 2.
+ 1 2 = 3
φ
Bei Euklid basiert der Beweis auf Abbildung 12. Die Strecke AB sei in C nach dem
goldenen Schnitt geteilt, AC sei die größere Strecke. Man bilde das Quadrat AE mit
der Seitenlänge |AB|. Zu zeigen ist, dass der Flächeinhalt des Quadrats AE plus dem
des Quadrats CK dreimal so viel wie der Flächeninhalt des Quadrats HG ist. Da C
die Strecke AB nach dem goldenen Schnitt teilt, ist der Flächeninhalt des Rechtecks
AK gleich dem des Quadrates HG. Der Rest des Beweises ist einfach und bleibt dem
Leser überlassen.
• Von ihrer sechsten unnennbaren Wirkung (Cap. XV).
Keine rationale Größe kann je nach unserer genannten Proportion so getheilt
werden, ohne dass jeder ihrer Abschnitte irrational . . . sei.
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