Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

gegeben ist. Der Kontraktionssatz liefert sofort die Aussage, dass die Folge {x k } für
jedes x 0 ≥ 0 gegen den eindeutigen Fixpunkt x ∗ von F (x) := √ 1 + x konvergiert.
Offenbar ist x ∗ = φ die Goldene-Schnitt-Zahl. Es ist daher
x 1 = √ 1 + x 0 ,
√
x 2 = 1 + √ 1 + x 0 ,
√
√
x 3 = 1 + 1 + √ 1 + x 0 ,
.
φ =
.
√
1 +
√
1 +
√
1 + √ 1 + · · ·,
eine Darstellung von φ als “geschachtelte Wurzel” (nested radical).
Nun betrachte man die Folge {x k }, die durch
x k+1 := 1 + 1 x k
, k = 0, 1, . . . ,
mit einem vorgegebenen x 0 > 0 gegeben ist. Wir wollen uns überlegen, dass auch diese
Folge für jedes x 0 > 0 konvergiert, und zwar offenbar gegen φ. Hierzu definieren wir
die Abbildung F (x) := 1 + 1/x. Offenbar ist F ((0, ∞)) ⊂ [1, ∞), F ([1, ∞)) ⊂ [1, 2],
F ([1, 2]) ⊂ [ 3, 2] und F ([ 3, 2] ⊂ [ 3, 2]. Für ein beliebiges x 2 2 2 0 > 0 ist also x k ∈ [ 3, 2] 2
für alle k ≥ 3. Da das abgeschlossene Intervall [ 3 , 2] durch F kontrahierend in sich
2
abgebildet wird, folgt die behauptete Konvergenzaussage. Mit x 0 := 1 erhalten wir
x 1 = 1 + 1 1 = 2 1 , x 2 = 1 + 1
1 + 1 1
= 3 2 , x 3 = 1 +
1
1 + 1
1 + 1 1
= 5 3 ,
und
x 4 = 8 5 , x 5 = 13
8 , . . . .
Auch hier wird der Zusammenhang zwischen der Goldenen-Schnitt-Zahl φ und den
sogenannten Fibonacci-Zahlen {f k }, die durch
f 0 := 0, f 1 := 1, f k := f k−1 + f k−2 (k = 2, . . .)
definiert sind, deutlich. Durch vollständige Induktion nach k erhält man
x k−1 = f k+1
f k
, k ∈ N,
womit
f k+1
lim
k→∞ f k
= φ
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