Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

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(c) Es ist (d) Es ist (e) Es ist k∑ j=0 k∑ f j = f k+2 − 1, k = 0, 1, . . . . j=0 fj 2 f j+1 = f kf k+1 f k+2 , k = 0, 1, . . . . 2 k∑ f j f k−j = 1 5 (k − 1)f k + 2 5 kf k−1, k = 1, . . . . j=0 4. Sei (f) Es ist (1 − φ) k = f k+1 − φf k , k = 0, 1, . . .. ⎛ A k := ⎜ . ⎝ Man berechne det(A k ). 1 −1 0 0 · · · 0 0 0 1 1 −1 0 · · · 0 0 0 0 1 1 −1 · · · 0 0 0 . . . . .. . . . 0 0 0 0 · · · 1 1 −1 0 0 0 0 · · · 0 1 1 ⎞ ∈ R k×k . ⎟ ⎠ 5. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 , k = 2, 3, . . .. Dann ist ⎧ f k+1 x k∑ ⎪⎨ k+1 + f k x k+2 − x f j x j x = 2 , x 2 + x − 1 ≠ 0, + x − 1 k = 0, 1, . . . . j=0 ⎪⎩ (k + 1)f k+1 x k + (k + 2)f k x k+1 − 1 , x 2 + x − 1 = 0, 2x + 1 6. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 , k = 2, 3, . . .. Ferner sei die Folge {g k } definiert durch g 0 := 2, g 1 := 1 und g k := g k−1 + g k−2 , k = 2, 3, . . .. Man zeige: (a) Es ist g k = f k−1 + f k+1 , k = 1, 2, . . .. (b) Es ist f 2k = f k g k , k = 0, 1, . . .. 7. Allgemeiner als in Aufgabe 6 bezeichnet man eine Folge {a k } k=0,1,... als eine Lucas- Folge, wenn a k = a k−1 + a k−2 , k = 2, 3, . . .. Man zeige, dass a k = a 1 f k + a 0 f k−1 , k = 1, 2, . . . , wobei {f k } natürlich die Folge der Fibonacci-Zahlen ist. 8. Sei {a k } k=0,1,... eine Lucas-Folge, siehe Aufgabe 7, und a 0 + a 1 φ ≠ 0. Dann ist a k+1 lim = φ. k→∞ a k 14
3 Fra Luca Pacioli: Divina Proportione In diesem Abschnitt wollen wir uns nach Euklid (auf den wir auch hier immer wieder zurückkomen) mit einem zweiten Autor über den goldenen Schnitt beschäftigen, nämlich (Fra) Luca Pacioli (*1445, †1517) 12 . Pacioli ist Autor des Buches Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportinalita (Venedig, 1494) 13 und des für uns wichtigen Buches Divina proportione (Venedig, 1509) mit Illustationen von Leonardo da Vinci 14 . Beide Bücher sind wohl nicht besonders originell, sie waren aber trotzdem einflussreich, weil sie das zu der Zeit bekannte Wissen zusammenfassten. Der Beginn der Divina Proportione ist wie folgt (A. Beutelspacher, B. Petri hat dieser Beginn offenbar so gut gefallen, dass sie ebenfalls mit diesem Zitat ihr Buch über den goldenen Schnitt beginnen), wobei wir den Text der Übersetzung von C. Winterberg angeben: • Ein für alle klaren und wissbegierigen Geister nothwendiges Werk; wo jeder Studirende der Philosophie, Perspective, Malerei, Sculptur, Architektur, Musik und anderer mathematischer Fächer eine angenehme subtile und bewundernswerte Gelehrsamkeit antreffen und sich mit verschiedensten Fragen der heiligsten Wissenschaft erfreuen wird. Das Buch ist Fürst Ludovico Sforza, Herzog von Mailand, gewidmet. Aus Cap. II zitieren wir lediglich: 12 Biographische Einzelheiten zu Pacioli findet man unter http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Pacioli.html Ein wunderschönes Bild (Ritratto di Fra Luca Pacioli, 1495) von Jacopo de Barbari zeigt den Franziskanermönch Luca Pacioli mit einer Schiefertafel, auf der man geometrische Konstruktionen, wahrscheinlich zum goldenen Schnitt, sehen kann, sowie einem Polyeder. Man kann sich dieses Bild auch unter der Adresse http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/pacioli.html ansehen (oder man fährt nach Neapel, es war allerdings kürzlich auch in einer kleinen Ausstellung in Kassel zu sehen). Hier noch die Lebensdaten berühmter Renaissance-Maler: Piero della Francesca (1410–1492), Leonardo da Vinci (1452–1519 (beide kannte Pacioli sehr gut), Albrecht Dürer (1471– 1528), Lucas Cranach der Ältere (1472–1553). 13 Hier kommen unter anderem die folgenden beiden Aufgaben vor: Zwei Mannschaften spielen ein Ballspiel. Sieger ist, wer zuerst 60 Punkte erreicht. Es wird um einen Preis von 22 Dukaten gespielt. Als das Spiel abgebrochen werden musste, hatte eine Mannschaft 50 Punkte, die andere 30 Punkte. Wie soll das Preisgeld aufgeteilt werden? Ein Mann lag auf dem Sterbebett und wollte sein Testament machen. Sein Vermögen belief sich auf 1000 Dukaten. 200 Dukaten vermachte er der Kirche, und 800 Dukaten blieben übrig. Seine Frau stand kurz vor der Niederkunft, und er wollte sowohl seine Witwe als auch den Halbwaisen eigens bedenken. Darum traf er die folgende Anordnung: Würde das Kind ein Mädchen, so sollte es das Geld mit der Mutter teilen, jede 400 Dukaten; würde das Kind jedoch ein Junge, so sollte dieser 500 und die Witwe nur 300 erhalten. Kurz danach starb der Mann, und bald setzten auch die Wehen ein. Die Frau gebar aber Zwillinge, und um alles noch komplizierter zu machen, war eines davon ein Junge, das andere ein Mädchen. Das Problem lautet: Wenn die Verhältnisse zwischen Mutter, Sohn und Tochter so beachtet werden, wie sie der Verschiedene gewünscht hatte, wie viele Dukaten werden dann jeweils auf Mutter, Sohn und Tochter entfallen? 14 Ein Originalexemplar ist übrigens in der Niedersächsischen Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen vorhanden. Man kann es sich ansehen, eine Ausleihe ist nicht möglich! 15
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Seite 13: die Funktion Fibonacci. Nach Fibona
Seite 17 und 18: Die entsprechende Aussage bei Eukli
Seite 19 und 20: Ein analytischer Beweis basiert ein
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Seite 37 und 38: • Die Strecke AB wird in P nach d
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Seite 41 und 42: = f k+2 − 1 + f k+1 = f (k+1)+2
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