Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

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Diese “Wirkung” wollen wir nicht angeben. Sie ist ziemlich unklar formuliert und betrifft die Konstruktion des “edelsten von allen regelmäßigen Körpern, Dodekaeder genannt”. Die vier anderen platonischen Körper (Tetraeder, Hexaeder bzw. Würfel oder Kubus, Oktaeder und Ikosaeder) sind den vier Elementen (Erde, Feuer, Luft, Wasser) zugeordnet, während das Dodekaeder von Plato als Gestalt angesehen wurde, die das ganze Weltall umfasst. Schließlich folgt Cap. XXIII (Wie aus Ehrfurcht vor unserem Heile die genannte Wirkungen endigen). • Es scheint mir, erhabener Herzog, nicht angemessen, mich über noch mehr von ihren unendlichen Wirkungen für jetzt zu verbreiten, weil das Papier der Tinte nicht genügen würde, sie alle auszudrücken, sondern wir haben nur diese dreizehn unter den andern ausgewählt, aus Verehrung für die Schaar der Zwölf und ihres heiligsten Hauptes, unseres Erlösers Jesus Christus. Denn da wir ihr den göttlichen Namen auch der Zahl nach von 13 Artikeln mit Bezug auf unser Heil und zwar der zwölf Apostel mit unserm Erlöser beigelegt haben, so seien sie hiermit beendigt; . . . 3.1 Aufgaben 1. Man gebe einen analytischen Beweis für die Aussage: Diagonalen, die im gleichseitigen und gleichwinkligen Fünfeck zwei aufeinanderfolgenden Winkeln gegenüberliegen, teilen einander stetig; und ihre größeren Abschnitte sind der Fünfeckseite gleich. 2. Man beweise, dass √ 5 irrational ist. 4 Geometrische Konstruktionen und Probleme Von Johannes Kepler (1571-1630) stammt die Aussage: • Die Geometrie birgt zwei große Schätze: der eine ist der Satz von Pythagoras, der andere der Goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten können wir ein kostbares Juwel nennen. 4.1 Das goldene Dreieck Wir sagen, ein gleichschenkliges Dreieck sei ein goldenes Dreieck, wenn sich die Länge eines Schenkels zur Länge der Grundseite wie φ : 1 verhält. Mit elementarer Trigonometrie erhalten wir hieraus, dass die Basiswinkel 2π/5 bzw. 72 ◦ sind, während der Winkel an der Spitze π/5 bzw. 36 ◦ ist. Denn (siehe Abbildung 18 links) es ist sin α = h φ = √ φ2 − 1/4 φ = 1 2√ 1 2 (5 + √ 5) = sin 2π 5 . In Abbildung 18 rechts stellen wir ein goldenes Dreieck △ABC dar. Der Schenkel AC sei in D nach dem goldenen Schnitt geteilt, wobei AD die größere Strecke sei. Dann 26
A π/5 h φ D α α π/5 2π/5 1/2 B C Abbildung 18: Das goldene Dreieck ist △BDC wieder ein goldenes Dreieck. Denn es ist (zumindestens analytisch) nicht schwierig nachzuweisen, dass |BD| = |BC, also △BDC gleichschenklig ist, und das Verhälnis zwischen |BD| und |DC| gerade φ ist. Ferner ist auch das Dreieck △ABD gleichschenklig mit dem Basiswinkel π/5. Dann ist Daher ist Fläche(△ABC) Fläche(△ABD) = sin(2π/5) sin(π/5) = φ, Insgesamt ist daher Fläche(△ABC) = |BC|2 φ sin 2π 2 5 , Fläche(△ABD) = |BC|2 φ sin π 2 5 , Fläche(△DBC) = |BC|2 2φ sin 2π 5 . Fläche(△ABD) Fläche(△DBC) = φ2 sin(π/5) sin(2π/5) = φ. Fläche(△ABC) Fläche(△ABD) = φ = Fläche(△ABD) Fläche(△DBC) . Etwas lax kann man also sagen, dass das goldene Dreieck △ABC durch das Dreieck △ABD nach dem goldenen Schnitt geteilt wird. Das goldene Dreieck kommt implizit schon bei Euklid (IV, 10) vor. Denn dort findet man die Aufgabe: 27
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