Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

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Folglich ist φ = 1 + √ 5 2 = 1 2 + 1 ∞∑ 2 k=0 f (k) (4) k! = 1 2 + 1 2 (f(4) + f ′ (4)) + 1 2 = 1 2 + 1 ( 2 + 1 ) + 1 ∞∑ 2 4 2 = 13 8 + ∞ ∑ k=2 = 13 8 + ∞ ∑ k=0 = 13 8 + ∞ ∑ k=0 = 13 8 + ∞ ∑ k=0 Damit ist die Behauptung bewiesen. k=2 ∞∑ k=2 f (k) (4) k! (−1) k+1 2 k 1 · 3 · · · · · (2k − 3)2 −(2k−1) k! (−1) k+1 2 3k 1 · 3 · · · · · (2k − 3) k! (−1) k+1 2 3(k+2) 1 · 3 · · · · · (2k + 1) (k + 2)! (−1) k+1 (2k + 1)! 2 3(k+2) (k + 2)! 2 k k! (−1) k+1 (2k + 1)! (k + 2)! k! 4 2k+3 . Literatur [1] A.Beutelspacher, B. Petri (1996) Der Goldene Schnitt. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg-Berlin-Oxford. [2] H. S. M. Coxeter (1953) The golden section, phyllotaxis, and Wythoffs game. Scripts Math. 19, 135–143. [3] H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry. John Wiley, New York. [4] O. Hagenmaier (1949) Der goldene Schnitt: Ein Harmoniegesetz und seine Anwendung. Werner Tapper-Verlag, Ulm. [5] K. Hofstetter (2002) A simple construction of the golden section. Forum Geometricorum Volume 2, 65–66. [6] D. E. Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1: Fundamental Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley. [7] D. E. Knuth (1998) The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley. [8] D. Laugwitz (1975) Die Quadratwurzel aus 5, die natürlichen Zahlen und der Goldene Schnitt. Jahrbuch Überblicke Mathematik 1975, 173–181. 48
[9] G. Odom (1983) Problem E 3007. American Mathematical Monthly 90, 482. [10] Fra Luca Pacioli (1494) Summa de Arithmetica Geometria Proportioni et Proportionalita. Venedig. [11] Fra Luca Pacioli (1509) Divina Proportione. Venedig. [12] Frau Luca Pacioli (1889) Divina Proportione. Die Lehre vom goldenen Schnitt. Nach der venezianischen Ausgabe vom Jahre 1509. Neu herausgegeben, übersetzt und erläutert von Constantin Winterberg. Quellenschriften für Kunstgeschichte und Kunsttechnik des Mittelalters und der Neuzeit. Verlag Carl Graeser, Wien. [13] B. Roselle (1999) A series representation for the golden mean. http://home.cinci.rr.com/roselle/goldenmeanseries.htm [14] J. Werner (1992) Numerische Mathematik 1. Vieweg, Braunschweig-Wiesbaden. 49
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