Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

• Die Strecke AB wird in P nach dem goldenen Schnitt geteilt.
In Abbildung 24 wird die Konstruktion verdeutlicht.
C
A
D
P
B
Abbildung 24: Konstruktion des “äußeren goldenen Schnitts”
Lösung: Es ist
|AB| = |AD| + |DB| = 1 2 |AP | + |DC| = 1 2 (1 + √ 5)|AP | = φ |AP |,
und das war zu zeigen.
2. Man löse das sogenannte Napoleonische Problem. Bei diesem sind auf einem gegebenen
Kreis um den Punkt O alleine mit Hilfe eines Zirkels vier Punkte A, B, C, D zu finden
derart, dass ABCD ein Quadrat bilden.
Lösung: Man mache die folgende Konstruktion, siehe Abbildung 25.
• Man wähle einen beliebigen Punkt A auf dem Kreis. Trage mit dem Radius des
Kreises von A aus die Punkte F , G und C ab.
• Sei E Schnittpunkt der Kreise um A und C jeweils mit dem Radius |AG|.
• Es ist |OE| die Seitenlänge des gesuchten Quadrates. Als Schnittpunkte des gegebenen
Kreises und des Kreies um A mit dem Radius |OE| gewinne man also
die beiden übrigen Punkte B und D.
E
F
B
G
A
O
C
D
Abbildung 25: Lösung des Napoleonischen Problems
Nun muss die Konstruktion gerechtfertigt werden. Hierzu muss gezeigt werden, dass
|OE| = √ 2|AO|. Es ist |AG| = √ 3|AO|. Wegen des Satzes von Pythagoras (angewandt
auf △COE) ist
Das war zu zeigen.
|OE| = √ |EC| 2 − |OC| 2 = √ |AC| 2 − |AO| 2 = √ 2|AO|.
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