Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

A
C
B
H
F
K
D
G
E
Abbildung 12: Beweis von Proposition 4 in Buch XIII
Siehe Euklid (XIII, 6). Gemeint ist ja wohl: Ist L rational, so sind L/φ und L(1 − 1/φ)
irrational.
• Von ihrer siebenten unglaublichen Wirkung (Cap. XVI).
Wenn man die Seite des gleichseitigen Sechsecks zu der Seite des gleichseitigen
Zehnecks addirt, welche beide als in ein und demselben Kreis beschrieben sich
verstehen, so wird ihre Summe immer eine nach unserer genannten Proportion
getheilte Grösse sein. Und ihr grösserer Abschnitt wird die Sechseckseite sein.
Das ist genau die Aussage bei Euklid (XIII, 9). Ein analytischer Beweis der Aussage
ist einfach. Sei nämlich s n die Seitenlänge eines dem Einheitskreis eingeschriebenen
regelmäßigen n-Ecks. Eine leichte Überlegung zeigt, dass s n = 2 sin(π/n). Zu zeigen ist
also, dass s 6 + s 10 = φs 6 bzw. (sin(π/6) + sin(π/10))/ sin(π/6) = φ, was aber wegen
sin(π/6) = 1/2 und sin(π/10) = ( √ 5 − 1)/4 richtig ist.
Jetzt wollen wir einen kleinen Exkurs über die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks,
des Sechsecks und des Zehnecks mit Zirkel und Lineal machen. Die Konstruktion
dafür, einem gegebenen Kreis ein gleichseitiges und gleichwinkliges Fünfeck einzubeschreiben,
wird bei Euklid (IV, 11) angegeben. Durch Winkelhalbierung bekommt man
das reguläre Zehneck, die Konstruktion des regulären Sechsecks ist bekanntlich trivial.
Wir geben zunächst die folgende Konstruktion (siehe auch Abbildung 13) an, danach
gehen wir auf die von Euklid ein.
• Gegeben ist ein Kreis um O.
• Konstruiere zueinander senkrechte Durchmesser des Kreises und damit die Punkte
A und C auf dem Kreis.
• Bestimme den Mittelpunkt B von OA.
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