Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

3. Man betrachte die folgende Konstruktion (siehe K. Hofstetter (2002)):
• Gegeben seien zwei Punkte A und B.
• Seien C und D Schnittpunkte der beiden Kreise um A bzw. B, welche jeweils den
Radius |AB| haben.
• Seien E und F Schnittpunkte der beiden Kreise mit der Geraden durch A und B.
• Seien X und Y Schnittpunkte der beiden Kreise um A bzw. B, jeweils mit dem
Radius |EF |.
Siehe Abbildung 26 links.
X
X
D
D
E
A
B
F
E
A
B
F
C
C
Y
Y
Abbildung 26: Konstruktion des goldenen Schnitts nach Hofstetter
(a) Man zeige, dass die Strecke CX in D nach dem goldenen Schnitt geteilt wird.
(b) Die Gerade durch A und B kann durch einen Kreis um C mit dem Radius |CD|
ersetzt werden, siehe Abbildung 26 rechts.
Lösung: Wir geben eine analytische Lösung an und nehmen an, es sei A = (0, 0) und
B = (1, 0) (was keine Einschränkung der Allgemeinheit ist). Dann ist C = ( 1 2 , − 1 2√
3),
D = ( 1 2 , 1 2√
3). E = (−1, 0), F = (2, 0) (unabhängig davon, ob man (a) oder eine reine
Zirkelkonstruktion betrachtet). Schließlich ist X = ( 1 2 , 1 2√
15). Dann ist
womit die Behauptung bewiesen ist.
√
1
|CX|
|CD| = 2 15 +
1
2√
3
√ = 1 3 2 (1 + √ 5) = φ,
6.2 Aufgaben in Abschnitt 2
1. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 ,
k = 2, 3, . . .. Dann ist
f k+1 f k−1 − f 2 k = (−1)k , k = 1, 2, . . . .
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