Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

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A E H B D Abbildung 16: Proposition 8 in XIII bei Euklid C Nun ist aber |AB| = |EH|, folglich |EB| |EH| = |EH| |BH| . Da |EB| > |EH| ist |EH| > |BH|. Also ist schließlich bewiesen, dass die Stecke EB in H nach dem goldenen Schnitt getrennt wird. • Über ihre 10. höchste Wirkung (Cap. XIX). Wenn eine Grösse nach der genannten Proportion getheilt ist, so gehen alle Wirkungen, welche aus ihr und ihren Abschnitten entspringen können, ihrer Beschaffenheit , Anzahl, Species und Gattung nach selbst aus irgend einer anderen ebenso getheilten Göße hervor. Hier kann man wohl nur spekulieren, was gemeint sein könnte. • Von ihrer 11. ausgezeichnetsten Wirkung (Cap. XX). Wenn man die Seite eines gleichseitigen Sechsecks nach unserer göttlichen Proportion theilen wird, so wird ihr größerer Abschnitt stets nothwendig die Seite des von demselben Kreise wie das Sechseck umschriebenen Zehnecks sein. Bei Pacioli wird auf Buch XIV, 3 verwiesen (was eigentlich nicht zu den ursprünglichen Elementen gehört). Wegen der siebten Wirkung bzw. XII, 9 ist die Aussage aber eigentlich klar. Denn danach ist (s 6 + s 10 )/s 6 = φ (hierbei bedeutet s n die Seitenlänge eines dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen n-Ecks. Also ist s 10 /s 6 = φ−1 = 1/φ, womit die Behauptung bewiesen ist. 24
• Von ihrer zwölften fast unbegreiflichen Wirkung (Cap. XXI). Wenn eine Grösse nach unserer genannten Proportion getheilt wird, so verhält sich die Wurzel aus der Summe aus dem Quadrat der ganzen Grösse und dem Quadrat ihres grössern Abschnitts zur Wurzel der Summe aus dem Quadrat genannter Grösse und dem Quadrate ihres kleinern Abschnitts wie die Seite des Kubus zur Seite des Dreiecks des zwanzigflächigen Körpers. Der “zwanzigflächige Körper” ist natürlich das Ikosaeder (20 Flächen (Dreiecke), 12 Ecken und 30 Kanten), siehe Abbildung 17. Der Durchmesser der Umkugel eines Abbildung 17: Das Ikosaeder und das Dodekaeder Würfels mit Kantenlänge l 6 ist 2r = l 6 √ 3 (das ist genau der Inhalt von Euklid XIII, 15). Die Kante eines Ikosaeders in einer Kugel vom Radius r ist √ l 20 = r 2 − 2/ √ 5 = √ r √10 − 2 √ 5 5 (siehe Euklid XIII, 16). Dann ist einerseits √ √ √ √ 12 + (1/φ) √ 2 12 + (1 − 1/φ) = φ2 + 1 φ + 2 √ 2 φ2 + (φ − 1) = 5 + √ 5 √ = 2 3 6 und andererseits Damit ist die Aussage bewiesen. l 6 l 20 = √ 5 + √ 5 . 6 • Von ihrer dreizehnten werthesten Wirkung (Cap. XXII). 25
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