Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

• Errichte ein gleichschenkliges Dreieck, in dem jeder der beiden Winkel an der
Grundlinie doppelt so groß ist wie der letzte Winkel.
4.2 Das 3-4-5-Dreieck
Ein Dreieck, dessen Seiten die Längen 3, 4 und 5 haben, enthält sozusagen seit Pythagoras
einen rechten Winkel. Sei also △ABC ein Dreieck mit |BC| = 3, |AB| = 4 und
|AC| = 5. Sei O Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ∢ACB und der Strecke AB.
Um O schlage man einen Kreis mit dem Radius |OB| und gewinne, wie in Abbildung
19 angegeben, die Punkte P und Q. Ferner sei D ein Punkt auf AC mit |DC| = |BC|.
A
P
D
O
Q
B
C
Abbildung 19: Das 3-4-5-Dreieck
Wir wollen uns überlegen:
• In Q wird die Strecke CP nach dem goldenen Schnitt geteilt. Ferner ist
|BC|
|BO| = 2 1 ,
|DC|
|AD| = 3 2 ,
|AO|
|OB| = 5 3 ,
|AB|
|BO| = 8 5 .
Hier schauen die Fibonacci-Zahlen schon um die Ecke!
Ein analytischer Beweis ist nicht schwierig. Es sei A = (0, 4), B = (0, 0) und C = (3, 0).
Dann ist O = (0, 3/2), P = (−3/ √ 5, (3/2)(1 + 1/ √ 5)), Q = (3/ √ 5, (3/2)(1 − 1/ √ 5))
und D = (6/5, 12/5). Dann ist (wir benutzen hierzu Maple)
|CP | = 3 2 (1 + √ 5), |P Q| = 3.
Also ist |CP |/|P Q| = φ, womit die erste Behauptung bewiesen ist. Wegen |BC| = 3
und |BO| = 3/2 ist |BC|/|BO| = 2/1. Weiter ist |DC| = 3, |AD| = 2, daher
|DC|/|AD| = 3/2. Es ist |AO| = 5/2, |OB| = 3/2, folglich |AO|/|OB| = 5/3. Schließlich
ist |AB| = 4, |BO| = 3/2, also |AB|/|BO| = 8/5. Damit ist die Behauptung
bewiesen.
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