Rekonstruktion und Simulation der Ausbreitung ... - OPUS Würzburg

Kapitel 7 – Anhang
Also ist
dΦ
dl
= G
cosθ
(Gl. 5)
Dies bedeutet, dass die Ableitung von Φ in der Richtung von l (die gerichtete Ableitung) von
der Richtung von dl
r abhängt und maximal wird für θ = 0. Die Bedingung θ = 0 bedeutet,
das dl
r in die Richtung der Flächennormalen n r zeigt, so dass die maximale Ableitung von Φ
entlang der äquipotentialen Flächennormalen läuft.
Hieraus folgt mit θ = 0 (Gl. 5), dass
G =
dΦ
dn
Somit folgt, dass der Gradient G r in der Richtung des maximalen Zuwachsrate von Φ
verläuft und dass sein Betrag gleich dieser maximalen Zuwachsrate ist.
Der Gradientoperator ∇ :
Der Vektor G r , definiert in (Gl. 2), wird auch als Gradient bezeichnet. Anstatt mit G r
bezeichnet, wird der Gradient üblicherweise in der Schreibweise ∇Φ
dargestellt, wobei
r
∇ ≡ a
x
∂ r
+ a
dx
y
∂ r
+ a
dy
z
∂
dz
(Gl. 6)
als ein Operator fungiert.
Für den Gradienten wird die Operation ∇Φ
ausgeführt in dem man jeden Term aus (Gl. 6) auf
Φ anwendet, die partielle Ableitung bildet und den Einheitsvektor anfügt. Hieraus ergibt sich
dann unmittelbar (Gl. 2).
Der Betrag von ∇Φ
lässt sich durch Ziehen der Quadratwurzel aus ∇ Φ ⋅∇Φ
. Unter
Anwendung von (Gl. 1)
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