2. Abschattung Kosmischer Strahlung durch den Mond in IceCube

Mondschattenanalyse
3. Mondschattenanalyse
3.1. Ungebinntes log-Likelihood-Verfahren
In dieser Arbeit wird das ungebinnte Likelihood-Verfahren zur Rekonstruktion des Mondschattens
der kosmischen Strahlung verwendet, wie es in der Diplomarbeit „Measurements of the Shadowing
of Cosmic Rays by the Moon with the IceCube Neutrino Observatory“ von Jan Blumenthal
behandelt wurde.[11]
Das Verfahren basiert auf einer Methode zur Punktquellensuche für Neutrinos [22]. In dieser
Methode wird nach dem optimalen Schätzer für die Anzahl von Source-Events n s gesucht. Bei der
Mondschatten Analyse sucht man nicht nach einer Neutrinoquelle, sondern beobachtet eine Senke
für kosmische Strahlung. Folglich kann n s als Anzahl der abgeschatteten Events bezeichnet werden.
Gibt es eine Schätzung für den Hintergrund und ein Modell für das Signal bzw. die Senke, so
kann eine Likelihoodfunktion aufgestellt werden. Durch diese Likelihoodfunktion soll die Anzahl
von abgeschatteten Events ermittelt werden, für die die Kombination von Hintergrund bzw. Signal
am besten die gegebenen Daten beschreibt. Da es sich bei Hintergrund- und Signalverteilung um
Wahrscheinlichkeitsdichten handelt, sollten beide Funktionen seperat normiert sein.
Für ein Event ist die Likelihoodfunktion L i entweder mehr dem Signal oder Hintergrund ähnlich.
Auf Grund dessen ergibt sich eine Likelihoodfunktion für ein Event mit der Signalverteilung an
einer bestimmten Position ⃗x:
L i (⃗x, n s ) = n (
s
N S i(⃗x) +
1 − n s
N
)
B i (⃗x) (3.1)
Hierbei ist N die Anzahl der Gesamtevents und sorgt für die korrekte Normierung der Likelihoodfunktion.
Insgesamt ergibt sich für N Events eine Likelihoodfunktion für die der Schatten eine Stärke n s
hat und um ⃗x von der nominellen Position verschoben ist.
L(⃗x, n s ) =
N∏
L i (⃗x, n s ) (3.2)
i=1
Das n s , welches diese Funktion maximiert, ist der beste Schätzer für die Beschreibung der Daten
mit diesem Modell. Um die Berechnung zu vereinfachen kann der Logarithmus dieser Funktion
verwendet werden, da es sich hierbei um eine monotone Funktion handelt und somit das Maximum
nicht verschiebt. Da für Computer meist ein Minimierungsalgorithmus verwendet wird, kann das
Maximum durch Hinzufügen eines Minuszeichens in ein Minimum umgewandelt werden. Also ergibt
sich:
− log L(⃗x, n s ) = −
N∑
i=1
( ns
(
log
N S i(⃗x) +
1 − n s
N
) )
B i (⃗x)
Es sei darauf hingewiesen, dass die negative log-Likelihoodfunktion (− log L) eine Funktion in
⃗x und n s ist. Für jedes beliebige ⃗x kann sie in n s minimiert werden. Die Minimierung ist eine
konkrete Zuweisung, daher erhält man eine Funktion, die nur von ⃗x abhängt. Diese Funktion ist
jedoch nicht beziehungsweise sehr schwer analytisch aus der − log L-Funktion berechenbar, sondern
muss an jedem Punkt einzelnd ausgewertet werden. Deswegen ist eine kontinuierliche Darstellung
schwierig bzw. bei unendlich vielen Punkten unmöglich. Daher muss zur Analyse des Mondschatten
eine Auswahl an Punkten dieser Funktion ausreichen.
(3.3)
8 RWTH Aachen