2. Abschattung Kosmischer Strahlung durch den Mond in IceCube

Berechnungen mit Graphik Prozessoren (GPU)
Abbildung 4.6.: Schema zur Verdeutlichung des Minimierungsalgorithmus. In diesem Fall wird die
Obergrenze im nächsten Iterationsschritt als c gewählt.
Die Wahl des vierten Punktes hat entscheidene Bedeutung für das Konvergenzverhalten bzw.
für die Konvergenzgeschwindigkeit.
Bei der Methode „golden section“ wird der vierte Punkt im Verhältnis des Goldenen Schnittes
im größeren der beiden Bereiche gewählt. Der goldene Schnitt ist die positive Lösung der Gleichung
Φ 2 − Φ − 1 = 0. Der Wert ist 1+√ 5
2
≈ 1.618. Das Verhältnis des goldenen Schnitts wird vom
Menschen als harmonisch empfunden und wird daher schon seit der Antike in Musik und Kunst
verwendet. Das Verhältnis ist auch in der Biologie oft zu finden und hat zahlreiche interessante
mathematische Eigenschaften, auf die hier nicht näher eingegangen werden kann. Dieses Minimierungsverfahren
hat ein lineares Konvergenzverhalten. Durch das Verhältnis des Goldenen Schnittes
wird die Effizienz der Minimierung optimiert.[24]
Eine weitere Methode ist die Parabel-Interpolation. Hierbei wird davon ausgegangen, dass eine
Funktion in der Nähe des Minimums immer durch eine Funktion zweiten Grades approximiert
werden kann. Dies ist für hinreichend glatte Funktionen der Fall. Eine Parabel ist durch drei
Wertepaare festgelegt. Als vierter Punkt wird nun der Scheitelpunkt der Parabel gewählt. Dies
kann zu einem sehr schnellen Konvergenzverhalten führen, wenn die Funktion wirklich annähernd
parabelförmig ist. Jedoch kann es auch zu sehr kleinen Schrittweiten und zu Extrapolationen, also
berechneten Punkten außerhalb der Grenzen, kommen.
Brent hat 1972 diese beiden Verfahren zu einem optimierten Verfahren vereint.[25] Hierbei wird
für die ersten Schritte die „golden section“ Methode benutzt. Im Weiteren wird jedes Mal der
Scheitelpunkt der Parabel berechnet. Bringt dieses Verfahren eine schnellere Konvergenz, also
angemessene Schrittweiten, im Gegensatz zu dem „golden section“-Verfahren, wird die Parabelinterpolation
vorgezogen.
Wie bereits von N. Ghosh und W. W. Hager beschrieben, kommt es beim Brent-Algorithmus
zu numerischen Instabilitäten, wenn die Abbruchstoleranz zu klein gewählt wurde.[26] Dies wurde
auch in dieser Arbeit beobachtet (siehe Abschnitt 5.1). Daher wird eine Erweiterung des Brent-
Algorithmus verwendet. Sie besteht auf der Grundlage der GSL-Funktion quad_golden, in der
eine sichere Schrittweite verwendet wird. Das bedeutet, dass im Zweifelsfall die Schrittweite der
vorherigen Iteration verwendet wird. [27] [28]
Um die Berechnung des Minimums mit möglichst wenigen Funktionsaufrufen zu berechnen, muss
ein angemessener Wertebereich sowie eine realistische Toleranz angegeben werden. Hierbei muss be-
18 RWTH Aachen