Vorlesungsskript Computergraphik II - IWR

2.4. ÜBUNGSAUFGABEN 41
wobei u 0 die Wärmeverteilung zu Beginn und u τ die Wärmeverteilung zum Zeitpunkt τ beschreibt.
Diskretisiert man den Laplace-Operator mittels finiter Differenzen, so ergeben sich die Gleichungen
(1 + 4τ)u i,j
τ
− τ(u i−1,j
τ
+ u i+1,j
τ
+ u i,j−1
τ
+ u i,j+1
τ ) = u i,j
0 ∀ i, j
in denen die Indizes i und j die Raumkoordinaten der einzelnen Gitterpunkte angeben. Das Gleichungssystem
soll mit Hilfe des Jacobi-Verfahrens gelöst werden für das sich folgende Iterationsvorschrift
ergibt
u i,j
neu =
1
(1 + 4τ) (τ(ui−1,j alt
+ u i+1,j
alt
+ u i,j−1
alt
+ u i,j+1
alt
) + u i,j
0 ).
Implementieren Sie dieses numerische Lösungsverfahren, wobei die einzelnen Iterationsschritte des
Jacobi-Verfahrens in einem Fragment-Shader berechnet werden. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
(a) Laden Sie von der Vorlesungswebseite die Datei waves.png herunter. Schreiben Sie zunächst
ein OpenGL Programm mit zweidimensionalem Weltkoordinatensystem, so dass jeder Texel dieser
Textur genau auf einen Pixel des Ausgabefensters abgebildet wird. Setzen Sie die Texturfilter auf
GL NEAREST um Interpolationsfehler zu vermeiden. Die vorgegebene Textur ist ein Graustufenbild.
Da später mehr als ein Farbkanal benötigt wird, übertragen Sie die Textur im RGB-Format an die
Graphikkarte, wobei die drei Kanäle R, G und B jeweils mit dem Grauwert des entsprechenden Texels
initialisiert werden.
(b) Erweitern Sie dieses Programm um einen Fragment-Shader, der die Auswertung der Textur übernimmt.
(c) Implementieren Sie eine idle-Funktion, die mit Hilfe des Befehls glCopyTexSubImage2D(...)
den Inhalt des aktuellen Color-Buffer in die Textur kopiert und anschließend das Bild neu zeichnet.
(d) Nach hinreichend vielen Jacobi-Iterationen ist das Gleichungssystem näherungsweise gelöst.
Speichern Sie nach 120τ Aufrufen der idle-Funktion den aktuellen Inhalt des Color-Buffers in eine
Datei und beenden Sie das Programm. Der Color-Buffer kann mit der Funktion glReadPixels(...)
ausgelesen werden.
(e) Implementieren Sie zum Abschluss das Jacobi-Verfahren in Ihrem Fragment-Shader. Verwenden
Sie den Rot-Kanal zur Speicherung des Iterationsfortschritts und den Grün-Kanal zur Speicherung
der rechten Seite u 0 des Gleichungssystems. Um die Pixel am Rand des Bildes korrekt zu verarbeiten,
genügt es die Wrapping-Parameter für die Texturkoordinaten auf GL CLAMP zu setzen.