Mathematikkurs V4 – Klausur 11.1 - Lösung - Stempel-unterricht.de

Wilhelmi Gymnasium Sinsheim
Mathematikkurs V4 – Klausur 11.1 - Lösung
25. Oktober 2012
1. Aufgabe
Richtig oder falsch. Kreuzen Sie die richtige Lösung an.
Für eine Funktion , die auf dem Intervall dreimal differenziert werden kann, gilt:
r
f
a) Haben die Graphen zweier Funktionen an der Stelle die gleiche Steigung,
so schneiden sie sich dort.
b) An der Nullstelle einer Funktion ändert die Steigung des Graphen stets ihr
Vorzeichen
c) Besitzt eine Funktion keinen Extrempunkt, so kann sie auch keinen Wendepunkt
besitzen.
d) An einer Wendestelle wechselt das Vorzeichen. x
e) Jede ganzrationale Funktion, die ein lokales Minimum und ein lokales Maximum
hat, hat auch eine Wendestelle.
f) An einer Wendestelle, wechselt ihr Vorzeichen von „ “ nach „ “. x
g) Ist ( ) , so ist eine lokale Extremstelle von x
h) Wechselt in einem Intervall das Vorzeichen nicht, so kann auch in diesem
Intervall das Vorzeichen nicht wechseln.
2. Aufgabe
Gegeben ist die Funktion ( ) . Berechnen Sie die Nullstellen, Extremstellen und
Wendestelle des Graphen der Funktion . Skizzieren Sie anschließend den Graphen der Funktion
anhand der berechneten charakteristischen Stellen.
1. Nullstellen:
Zur Berechnung der Nullstellen muss die Polynomdivision durchgeführt werden. Dafür muss eine
Nullstelle gedeutet werden. Durch probieren erkennt man, dass für oder die Funktion
( ) gleich Null ist. Aus der Polynomdivision ergibt sich dann:
( ) ( ) ( ) bzw ( ) ( ) ( )
Mithilfe der pq-Formel lassen sich die weiteren Nullstellen finden:
√( ) bzw. √
x
x
x
x
x
Die Nullstellen sind somit
und
und
bzw.
2. Extremstellen:
Für die Extremstellen müssen die Nullstellen der Ableitung untersucht werden:
( )
Notwendige Bedingung:
und
Hinreichende Bedingung:
( )
( )
( )
Damit handelt es sich bei um ein Hochpunkt ( ) und bei um einen
punkt ( ).

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25. Oktober 2012
3. Wendestelle:
Für die Wendestellen müssen die Nullstellen der zweiten Ableitung untersucht werden:
( )
Notwendige Bedingung:
Hinreichende Bedingung:
( )
Diese Bedingung ist immer erfüllt. Deshalb liegt an der Stelle
( )
ein Wendepunkt vor
y
4
f(x)=x³-3x-2
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
4. Aufgabe
Bestimmen Sie die Tangente(n) im/in den Wendepunkte(n) der Funktion ( ) .
1. Wendepunkte
Zur Bestimmung der Wendepunkte geht man wie gewohnt vor:
Notwendige Bedingung:
( )
Ausmultiplizieren und der Satz vom Nullprodukt ergeben:
( )
Hinreichende Bedingung:
( )
( )
( )
2. Tangentengleichung
An der Stelle liegt ein Sattelpunkt vor, damit lautet die Tangentengleichung an dieser Stelle:
An der Stelle
ergibt sich für die Tangentengleichung:
( )( ) ( ) ( )

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5. Aufgabe
Skizzieren Sie in das Schaubild die zu dem gegebenen Graphen von die Graphen der ersten
und zweiten Ableitung
Nach der sogenannten „NEW-Regel“ sind die Extremstellen der Ursprungsfunktion die Nullstellen
der Ableitungsfunktion und die Wendestellen der Ursprungsfunktion die Extremstellen der ersten
Ableitung. Damit hat die erste Ableitung an den Stelle , und eine Nullstelle.
An den Stellen und hat die Ursprungsfunktion ihre Wendestellen und damit die erste Ableitung
an diesen Stellen ihre Extremstellen, sowie die zweite Ableitung ihre Nullstellen. Betrachtet
man nun noch das Verhalten der Steigung für so lassen sich die Funktionen zeichnen:
y
10
8
6
4
2
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2
x
-2
-4
-6
-8
-10

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6. Aufgabe
Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion
f ' einer Funktion f . Welche der folgenden
Aussagen über die Funktion f sind wahr, falsch oder unentscheidbar?
Begründen Sie Ihre Antworten
(1) f ist streng monoton wachsend für 3 x 3.
WAHR
Laut Definition gilt:
Ist ( ) auf einem Intervall so ist die Funktion ( ) auf dem Intervall streng monoton
wachsend.
(2) Das Schaubild von f hat mindestens einen Wendepunkt.
WAHR
Wie in Aufgabe 5 erwähnt bedeutet eine Extremstelle in der ersten Ableitung eine Wendestelle
für die Ursprungsfunktion.
(3) Das Schaubild von f ist symmetrisch zur y-Achse
FALSCH
Da die Ableitung symmetrisch zur y-Achse ist und damit die Steigung symmetrisch zur y-
Achse ist, ist die Ursprungsfunktion punktsymmetrisch, aber nicht symmetrisch zur y-
Achse.
(4) Es gilt ( ) 0
f x für alle x
3;3
UNENTSCHEIDBAR
Diese Aussage kann nicht eindeutig beantwortet werden, da die Funktion entlang der y-
Achse verschoben sein kann und somit auch negative Funktionswerte möglich sind bei
positiver Steigung.
7. Aufgabe
Ist die Bedingung ( ) eine notwendige, hinreichende, notwendige und hinreichende
oder weder notwendige noch hinreichende Bedingung für die Existenz einer waagerechten
Tangente in ( ( ))?
Diese Bedingung ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer waagerechten
Tangente. Da die Steigung für eine waagerechte Tangente gleich Null sein muss.
Es existiert kein anderer Fall, für den die Bedingung nicht erfüllt ist und eine waagerechte
Tangente existiert .

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8. Aufgabe
Die Niederschlagsrate während eines etwa einwöchigen Dauerregens wird modellhaft beschrieben
durch eine Funktion r mit ( ) .
Dabei wird in Tagen seit Einsetzen des Regens und ( ) in Liter pro und Tag gemessen.
a) Skizzieren Sie (mithilfe des GTR) das Schaubild von in einem geeigneten Koordinatensystem.
y
80
70
60
50
40
30
20
10
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
b) Wann hört der Regen auf?
Der Regen hört auf, wenn die Funktion den Wert Null annimmt, also an einer Nullstelle.
Der GTR gibt als Nullstelle aus.
Der Regen hört nach Tagen auf.
c) Erläutern Sie die Bedeutung des Hoch- und des Wendepunktes kurz (nicht mehr als je ein
Satz) im Sachzusammenhang. (Die Angabe der Koordinaten ist nicht verlangt!)
Der Hochpunkt gibt an zu welchem Zeitpunkt die größte Menge Regen und wie viel Regen
in gefallen ist.
Der Wendepunkt gibt den Zeitpunkt an, an dem die größte Änderung des Regens stattgefunden
hat.
d) In welchem Zeitraum gehen täglich mehr als Liter Regen pro nieder?
Mithilfe des GTRs kann man sich eine Gerade mit zeichnen lassen und dies mit
dem Graphen der Funktion schneiden. (Alternativ untersucht man mithilfe des Cursors die
den Graphen der Funktion). Vom GTR lässt sich dann und . Nach ungefähr
Tagen bis Tagen fällt mehr als Regen pro Tag.

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9. Aufgabe
Die Schaubilder von und mit ( ) und ( ) begrenzen auf
ist der Abstand zwi-
einer Parallelen zur y-Achse eine Strecke. An welcher Stelle
schen ( ) und ( ) am größten?
y
6
5
4
3
2
1
O
1 2 3 4 5
x
Um das Maximum der Strecke zu finden bildet man aus der Differenz der beiden Funktionen
die Funktion ( ) und bestimmt deren Maximum.
( ) ( ) ( )
( )
An der Stelle
ist die Streck/der Abstand am Größten.
10. Aufgabe
Die von einem Skirennfahrer geplante Fahrstrecke an zwei Slalomstangen vorbei lässt sich
Näherungsweise durch die Funktion mit ( ) ( und
( ) in ) beschreiben. Im Punkt ( ) rutscht er aus, so dass er tangential aus der Bahn
getragen wird. An welcher Stelle trifft er auf die entlang der x-Achse angebrachten Strohballen
auf.
Mithilfe des GTRs wird die Tangetengleichung aufgestellt:
Um zu wissen wo er auf die Strohballen trifft muss der Schnittpunkt mit der x-Achse berechnet
werden:
Der Skifahrer trifft bei
auf die Strohballen.