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676 A Erweiterungen der elementaren Festigkeitslehre Beanspruchungsrechnung durch ein Rechteckkollektiv mit nur einem einzigen Lasthorizont zu ersetzen. Die Schädigung D des gemessenen oder gerechneten Kollektivs mit m Lasthorizonten ist dabei bei Anwendung der elementaren Palmgren-Miner-Regel gegeben durch D = m∑ n i σa,i k N D σD k . (A.21) i=1 Genauso lassen sich natürlich die anderen beschriebenen Schadensakkumulationshypothesen – die Originalform (A.18) der Palmgren-Miner-Regel oder die relative Form (A.20) – anwenden. Die Schädigung des Ersatzkollektivs ¯D mit nur einem Lasthorizont σ a,E und n E Lastwechseln soll nun der Schädigung D des Ausgangskollektivs entsprechen, dabei wird der Einfachheit halber die elementare Form der Palmgren-Miner-Regel verwendet, ¯D = n E σ k a,E N D σ k D ! = D . (A.22) Dabei gibt es vier Möglichkeiten, die Parameter σ a,E und n E des Ersatzkollektivs festzulegen: 1. Für den vorgegebenen Höchstwert σ a1 des ursprünglichen Kollektivs wird eine schädigungsäquivalente Ersatz-Schwingspielzahl ¯n 1 bestimmt: ( m ) ∑ ¯n 1 = n i · σa,1 k · σa1 −k . (A.23) i=1 Mit ¯n 1 wird eine maximale zeitliche Raffung des Versuchs erreicht; die Aussagefähigkeit des Tests bei Fahrzeuggetrieben ist genau zu überprüfen, da durch den fehlenden Wechsel der Betriebszustände die Abkühlpausen fehlen, die im tatsächlichen Betrieb aber immer vorhanden sind; zudem werden Langzeiteinflüsse kaum erfasst. 2. Für den vorgegebenen Kollektivumfang n ges = ∑ m i=1 n i wird eine schädigungsäquivalente Ersatz-Spannungsamplitude ˆσ a bestimmt: [( m ) ] 1/k ∑ ˆσ a = n i · σa, k i /n ges . (A.24) i=1 Diese Form des Ersatzkollektivs führt i.d.R. zu langen Laufzeiten im Prüfstandsversuche, die vor allem aber den Langzeitverschleiß gut repräsentieren können. Eine Raffung der Prüfdauer ist dann im Rahmen realitätsnaher Prüfbedingungen kaum erreichbar, es ist mit langen Versuchszeiten zu rechnen; oft kann man durch Prüfung mit Resonanzpulsern über die hohe Prüffrequenz trotzdem eine erträgliche Prüfdauer erreichen. 3. Für eine beliebig vorgegebene Spannungsamplitude σ ∗ a wird eine schädigungsäquivalente Ersatz-Schwingspielzahl n ∗ bestimmt:
A.2 Grundzüge der Betriebsfestigkeit 677 ( m ) ∑ n ∗ = n i · σa, k i · (σa) ∗ −k . (A.25) i=1 Hier bietet sich die Möglichkeit, einen Prüfzyklus optimal auf die Leistungsfähigkeit vorhandener Dauerprüfeinrichtungen anzupassen. Die Prüfgeschwindigkeit, mit der die Lasten σ ∗ a aufgebracht werden, ist aber so zu wählen, dass eine übermäßige Erwärmung des Prüflings infolge zu schneller Prüfung ausgeschlossen bleibt. 4. Bei einer beliebig vorgegebenen Schwingspielzahl ñ wird die schädigungsäquivalente Ersatz-Spannungsamplitude ˜σ a bestimmt: [( m ) 1/k ∑ ˜σ a = n i · σa,i /ñ] k . (A.26) i=1 Diese Art der Bestimmung des rechteckigen Ersatzkollektivs bietet sich an, wenn man bestimmte Prüfzeiten einstellen will, um beispielweise die Ölalterung innerhalb bestimmter Zeitfenster zu analysieren. Die Ausführungen wurden hier immer für Spannungen gemacht; genau in der gleichen Art können natürlich auch Momente, Verschiebungen usw. in die Gleichungen eingesetzt werden, vorausgesetzt, dass zwischen den einzusetzenden Größen und der Spannung als maßgeblicher Größe im Zeitfestigkeitsbereich ein linearer Zusammenhang besteht. Bei der Ermittlung der schädigungsäquivalenten Ersatzmomente bei der Auslegung von Verzahnungen auf Zahnflankentragfähigkeit, vgl. Auslegungsaufgabe 4.5, ist dies entsprechend zu berücksichtigen durch Nutzung des Neigungsexponenten k ∗ H = k H/2 für die Ersatzmomente zur Bewertung der Zahnflankenbeanspruchung; k H ist der Neigungsexponent der Wöhlerlinie des Grundwerkstoffs bezüglich Ausfall durch Zahnflankenbeanspruchung nach Tabelle 4.14. Anmerkung A.3 Eine eventuell in der Auslegung der Getriebe berücksichtigte lebensdauerbezogene Soll-Sicherheit ν L muss bei der Bestimmung von Ersatzkollektiven nicht berücksichtigt werden, da man sich auf die Schädigungsäquivalenz konzentriert. Um sicherstellen, dass die im Ausgangskollektiv enthaltene Schädigung mit einer Sicherheit ν S erreicht wird, kann bei Annahme einer linearen Schadensakkumulationshypothese für die Bestimmung des Ersatz-Rechteckkollektivs die Laufzeit prozentual erhöht werden. ✷ Beispiel A.2 Gegeben sei das in Tabelle A.3 gegebene Kollektiv mit den Spannungsamplituden σ a,i und Überrollungszahlen (Lastwechselzahlen) n i , der Neigungsexponent der Wöhlerline ist k = 5. Zu bestimmen sind ¯n 1 , ˆσ a , n ∗ für σ ∗ a = 450 MPa sowie ˜σ a für ñ = 3 · 10 6 . Zunächst errechnet man zweckmäßig den Ausdruck ∑ m i=1 n i · σ k a,i zu 2, 4275 · 10 19 (Zahlenwert), den man dann immer wieder für die Auswertung der Formeln für die Ersatzkenngrößen verwendet.
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