A Erweiterungen der elementaren Festigkeitslehre für die ... - Springer

662 A Erweiterungen der elementaren Festigkeitslehre
Systemverformungen auf die entstehenden Rastierkräfte. Man findet für die
elastische Abplattung δ, um die die beiden Körper aufeinander zu bewegt werden,
z.B. bei Steinhilper & Sauer [2005] eine Gleichung, in die der dritte
Koeffizient ς H aus Tabelle A.2 eingeht,
√
δ H = 3 2 ς F 2 ρ ∗
H 3 3 (E ∗ ) 2 . (A.7)
Weiterhin kann für den Kontakt zwischen Kugel und Ebene im Kontaktmittelpunkt
y = 0 die Spannung σ z in Lastrichtung z ermittelt werden, die an
der Oberfläche z = 0 ihr Maximum hat; die Lage der verwendeten Koordinatensysteme
ist Abbildung A.4.a zu entnehmen,
σ z (z) = −p max·
( ( z
a) 2
+ 1
) −1
⇒ |σ z,max | = |p max | . (A.8)
Mit (A.8) und den folgenden Gleichungen für die Spannungen des Kontaktproblems
kann man – unter Nutzung des Maximalwerts der Pressung für die
gegebene Geometrie nach (A.6) in (A.8) – die maximale Belastung des Werkstoffs
abschätzen. Die Vereinfachung des tatsächlichen Problems auf den Fall
Kugel-Ebene erlaubt die Angabe expliziter Werte für die Spannungen und ihren
Wirkort und ermöglicht so die Auslegung der Werkstoffpaarung und der
Wärme- und Oberflächenbehandlung der Kontaktpartner. Für die Normalspannungen
in radialer Richtung σ r entlang der Wirkungslinie der angreifenden
Kraft gilt dann mit der Querkontraktionszahl ν der Auflage
σ r (z) = −p max ·
[ (
(1 − ν) · 1 − z ( z
))
a · arctan −
a
1
2 ((z/a) 2 + 1)
]
.(A.9)
Nimmt man die Schubspannungshypothese als gültiges Versagenskriterien für
die Entstehung von ersten Mikrodefekten an, die zu Grübchen oder Schälungen
führen, so kann man die entlang der Verlängerung der Wirkungslinie der
angreifenden Kraft wirkende Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothse
explizit angeben. Die maximale auftretende Schubspannung τ max (z)
bei gegebener zweiachsiger Normalspannungsbelastung erhält man durch Differenzbildung
von (A.8) und (A.9) zu
[ 1 − ν
τ max (z) = p max ·
2
(
· 1 − z ( z
))
a · arctan −
a
]
3
4 ((z/a) 2 .(A.10)
+ 1)
Der Verlauf der beiden Spannungskomponenten und der Vergleichsspannung
nach (A.10) ist in Abbildung A.4.a graphisch dargestellt. Bemerkenswert ist,
dass das Schubspannungsmaximum τ max = 0, 31 p max unterhalb der Kontaktfläche
im Abstand z = 0, 47 · a auftritt; dieser Punkt muss bei Bauteilen mit
Punktkontakt nach der Hertz’schen Theorie noch in der Einhärtezone liegen,
um einen frühzeitigen Ausfall zu vermeiden.