Bauinformatik Teil 1 - Baustatik-Info-Server

Seite 22 Bauinformatik - Teil 1 - Übungsskript / 2011
5.4.2 Reihenentwicklung weiterer Funktionen
Analog zur Entwicklung der sinus-Funktion kann für die Funktion cosinus(x) eine Reihenentwicklung
programmiert werden (siehe Gleichung 8).
cos(x) = 1 − x2
2! + x4
x2n
− · · · + (−1)n/2
4! (2n)! ± . . . (8)
Analog zur Entwicklung der sinus-Funktion kann für die Funktion f(x) = e x eine Reihenentwicklung
programmiert werden (siehe Gleichung 9).
e x = 1 + x 1! + x2
2! + · · · + xn
(n)! . . . (9)
5.5 Newton-Verfahren
5.5.1 Der Algorithmus des 1-dimensionalen Falls
Mit dem Newton-Verfahren kann iterativ eine Nullstelle
einer Funktion f(x) bestimmt werden. Hierfür
sind ein Startwert x 0 , eine Genauigkeit ɛ und eine
maximale Iterationsanzahl n x vorzugeben.
Durch Nullsetzen einer Taylor-Reihenentwicklung
um den Punkt x n kann die Iterationsformel des
Newton-Verfahrens abgeleitet werden.
Abbildung 20: Graphische Darstellung des
Newton-Verfahrens
f(x n+1 ) = f(x n ) + (x n+1 − x n ) · f ′ (x n ) = 0 ⇒ (10)
x n+1 = x n − f(x n)
f ′ (n = 0, 1, 2, . . . ; x 0 gegeben)
(x n )
Die Ableitung der Funktion f(x) kann durch den Differenzenquotienten angenähert werden.
f ′ (x) =
f(x + h/2) − f(x − h/2)
h
z.B. mit h = 0.001 (11)
E. Baeck