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Einführung in die Biotechnologie - 26 - differentielle Konzentrations - ä nderung erzwungene ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ effektive ⎢ ⎥ = + + Reaktion Konvektion Diffusion ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Mathematisch läßt sich diese Beziehung als Bilanzgleichung formulieren: ∂c ∂t ∂c ∂t r r = - div (u c ) - div ( j ) + υ r r i ∑ i i i ij oder = - div (u c ) + div (D grad c ) + R i i [ ] Durch mathematische Operationen, die die Kenntnis der Kinetik der interessierenden Reaktion sowie des dynamischen Verhaltens des betrachteten Reaktors voraussetzen, lassen sich sogenannte Design-Gleichungen herleiten. Sie ergeben im einfachsten Fall einen Zusammenhang zwischen der Reakionszeit und dem erzielbaren Umsatz. Ideale Reaktoren Idealer Satzreaktor (Rührkesselreaktor, batch reactor) Die Bilanzgleichung lautet: dc = - 0 + 0 + R = R dt angewandt auf die einfache Reaktion A → B (Reaktion 1. Ordnung) ergibt sich mit 0 dca ca − ca ca dca =− kca und U = = 1 − : dU =− 0 0 0 dt c c c 0 −cadU = −k ca 0 = −kca dt dU ( 1− U) 1 ln ( 1− U ) = k dt (1- U) dt = k t � t = 1 k a ln 1 1− U Dabei ist t die Zeit, die nötig ist, um unter gegebenen Bedingungen einen bestimmten Umsatz zu erreichen. Ideales Strömungsrohr (plug flow reactor) (Beispiel: eine Fläche S wird in einer Richtung durchströmt; u ist der Betrag der Strömungsgeschwindigkeit). Die Bilanzgleichung hat die Form: d( u c i ) − + R = 0 dx a a
Einführung in die Biotechnologie - 27 - u dci dx = R u S dci S dx = R V& dci = = R dV mit dU = − dci 0 dU dV R = − 0 V& Durch Integration erhält man: c 0 i U c i V R dU & ∫ = dV − ∫ = V 0 V 0 τ = c U 0 i ∫ 0 R dU − Idealer Durchflußrührkessel (continuous stirred tank reactor) Die Bilanzgleichung erhält die Form: c i dj 0 = div { u + R = − z + dz R (r c) =j Diese Betrachtungsweise ist so möglich, da bei der Eintrittsfläche ein Konzentrationssprung stattfindet (Annahme spontaner und vollständiger Durchmischung). Die Bilanzgleichung kann dann in der folgenden Weise geschrieben werden: jaus − jein 0 = −( ) + R L u = − ( caus − cein ) + R L F u V& = − ( caus − cein ) + R = − ( caus − cein ) + R F L V
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