Numerische Lösung des mathematischen Pendels mit ...

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In den folgenden Bildern ist jeweils ein Plot der p-Werte der exakten Lösung
(dünn gepunktet), der Lösung des impliziten Mittelpunktverfahrens (durchgezogen)
und der Lösung des expliziten Eulerverfahrens 1 (gestrichelt) zu
sehen, jeweils mit Startwert q(0) = 0.3, p(0) = 0 im Intervall [0,60] (auf der
t-Achse sind also die Einteilungen mit 10 zu multiplizieren).
1
0
−1
−2
1 2 3 4 5 6
Abbildung 2: Lösungen mit h = 0.1
Die Schrittweiten variieren zwischen den Bildern, wir fangen an mit
Schrittweite h = 0.1 (Abbildung 2). Man erkennt, dass die Lösung nach
Mittelpunktsregel auch auf langen Intervallen gut mit der exakten Lösung
übereinstimmt, während das explizite Eulerverfahren sowohl eine wachsende
Amplitude als auch eine wachsende Periodendauer aufweist.
Abbildung 3 zeigt die Differenzen 〈Verfahrenslösung〉−〈exakte Lösung〉.
Betrachten wir die gleichen Verfahren bei h = 0.05 (Abbildung 4).
Bei der Mittelpunktsregel ist kein Unterschied zu bemerken, während das
explizite Eulerverfahren sich deutlich verbessert. Dies erkennt man auch gut,
wenn man sich die Differenzen zur exakten Lösung ansieht (Abbildung 5).
Betrachten wir das Eulerverfahren mit noch einmal kleinerer Schrittweite
h = 0.01 (Abbildung 6, Differenz in Abbildung 7), dann erkennt man, dass
1 Im folgenden wird nur noch ” Mittelpunktsregel“ und ” Eulerverfahren“ verwendet, das
Wort ” implizit“ bzw. ” explizit“ sei hier implizit enthalten.
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