Numerische Lösung des mathematischen Pendels mit ...

Näherungslösung für kleine Winkel
Für kleine Winkel q geht die Differentialgleichung durch die Näherung
sin x ≈ x über in die Differentialgleichung
¨x = −x.
Dies ist eine homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
Man kann sie also lösen, und die allgemeine reelle Lösung ist
x(t) = c1 · sin t + c2 · cos t,
wobei für die Konstanten gilt: c1 = ˙x(0), c2 = x(0). Natürlich kann man die
Konstanten bestimmen, sobald man irgendwelche Anfangswerte hat. Nur
wenn man die Anfangswerte bei t = 0 gegeben hat, so lassen sie sich besonders
leicht ablesen.
Allgemeiner Lösungsansatz
Die Differentialgleichung lässt sich umschreiben zu:
�
d 1
dt 2 ˙x2 �
− cos x = 0.
Damit ist 1
2 · ˙x2 − cos x = E eine Konstante. Diese gibt die gesamt Energie
des Pendels an. Für die exakte Lösung ist damit die Hamiltonfunktion
H(p,q) := 1
2 p2 − cos q
konstant. Hat man Anfangswerte gegeben, so ist die Konstante durch diese
bestimmt. Eine Lösung der Differentialgleichung löst also in einer Umgebung
J eines Anfangswertes t0, in der die Ableitung nicht Null ist, eine der
Differentialgleichungen
˙x = � 2(E + cos x) oder ˙x = − � 2(E + cos x),
abhängig vom Vorzeichen von ˙x(t0). Beide sind Differentialgleichungen mit
getrennten Variablen. Nehmen wir an, dass die Ableitung positiv ist. Damit
ergibt sich als Lösungsansatz:
� x(t)
x(t0)
dξ
� 2(E + cos ξ) =
Dieses Integral ist nicht geschlossen lösbar. Die exakte Lösung ist also die
Umkehrfunktion zu
t = H(x) = t0 +
� x(t)
x(t0)
5
� t
t0
dt.
dξ
� 2(E + cos ξ) .