Numerische Lösung des mathematischen Pendels mit ...

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Verfahrensbeschreibung Allgemeines Wir betrachten hier allgemein die gewöhnliche Differentialgleichung mit Anfangswertproblem x ′ (t) = f(x(t),t), x(t0) = x0, sowie den Spezialfall einer autonomen gewöhnlichen Differentialgleichung, x ′ (t) = f(x(t)), x(t0) = x0. (In unserem Fall des mathematischen Pendels haben wir es ja mit einer autonomen Gleichung zu tun.) Unsere Verfahren bestimmen nun für ein Intervall [t0,tN] eine (endliche) Folge {xi} N i=0 von Näherungswerten der Funktionswerte der exakten Lösung {x(ti)} N i=0 , wobei wir hier die äquidistanten Stützstellen , betrachten. ti = ti−1 + h = t0 + h · i, h = tN −t0 N Explizites Eulerverfahren Das explizite Eulerverfahren gehört zur Klasse der k-Schritt-Verfahren, es ist nämlich das einzige explizite 1-Schritt-Verfahren. Die Verfahrensformel ist allgemein xl+1 = xl + h · f(xl,tl) und im autonomen Fall Implizite Mittelpunktsregel xl+1 = xl + h · f(xl). (1) Die implizite Mittelpunktsregel gehört nicht zur Klasse der in der Vorlesung behandelten k-Schrittverfahren, ist aber de facto auch ein 1-Schritt- Verfahren, da für jeden Schritt nur das Ergebnis des vorherigen Schrittes notwendig ist, keine früheren Schritte. Die Verfahrensformel ist hier � xl + xl+1 xl+1 = xl + h · f , 2 tl � + tl+1 2 Offensichtlich ist das kein explizites Verfahren, da die Funktion am Mittelpunkt zwischen dem (schon bekannten) xl und (noch zu bestimmenden) xl+1 ausgewertet wird (ebenfalls mit Mittelpunkt der Parameter-Werte). 7
Automomer Fall Da wir es in unserem Fall mit einer autonomen Differentialgleichung zu tun haben, vereinfachen sich die Formeln etwas. Die implizite Mittelpunktsregel wird zu � � xl + xl+1 xl+1 = xl + h · f (2) 2 Da wir es mit einem impliziten Verfahren zu tun haben, können wir nicht die Ergebnisse xl+1 der Einzelschritte nicht einfach hinschreiben, sondern müssen die Gleichung (2) numerisch lösen. Dafür bieten sich zwei Varianten an. Einzelschritte per Newton Da sich unsere Funktion f leicht differenzieren lässt, könnten wir das Newtonverfahren verwenden. Mit g(y) := xl − y + h · f �xl+y � müssten wir also eine Nullstelle von g 2 finden. Hierbei könnten wir y0 := xl als Startwert nehmen, und verwendeten dann die normale Newtoniteration yj+1 = yj + zj, wobei zj Lösung von g ′ (yj) · zj = −f(yj). Auch eine Variante des Newtonverfahrens, wie ein Sekantenverfahren, wäre denkbar. Einzelschritte nach Banach Eine einfachere Variante ist eine Fixpunkt-Iteration nach Banach: Wir betrachten die Funktion k : R n → R n � � xl + y k(y) := xl + h · f 2 Offensichtlich ist jeder Fixpunkt dieser Funktion eine Lösung für (2) und umgekehrt. Da unser f lipschitzstetig war, ist dies ebenso für k der Fall. Für h < 2 ist k kontraktierend, und die Iteration yi+1 := k(yi) � � xl + yi = xl + h · f 2 konvergiert (bei beliebigem Startwert) gegen den einzigen Fixpunkt (also xl+1). In unserem Programm wurde die Banach-Iteration verwendet, die zwar langsamer ist, aber leichter implementierbar (man muss keine Inverse einer Matrix bestimmen, das Ableiten kann man sich auch sparen). 8
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Seite 33: Quellenangaben [1] Konrad Königsbe

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